V Cas d'un sous-espace F
de dimension finie
• Théorème
E = F ⊕ F
⊥ .
On peut donc définir le projecteur orthogonal p F sur F.
Si (e 1 ,. . . ,e p ) est une base orthonormale de F, on a :
∀x ∈ E
p F (x) =
p
i=1
< e i |x > e i .
• Définition
On appelle distance d'un élément x deE au sous-espace de dimension finie F le
nombre :
d(x,F) = inf
z∈F
x − z .
• Théorème
d(x,F) est un minimum atteint en un point, et un seul, z = p F (x) , et l'on a :
x
2
= =p F (x)
2
+ d(x,F)
2 .
122 A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s
de dimension finie
• Théorème
E = F ⊕ F
⊥ .
On peut donc définir le projecteur orthogonal p F sur F.
Si (e 1 ,. . . ,e p ) est une base orthonormale de F, on a :
∀x ∈ E
p F (x) =
p
i=1
< e i |x > e i .
• Définition
On appelle distance d'un élément x deE au sous-espace de dimension finie F le
nombre :
d(x,F) = inf
z∈F
x − z .
• Théorème
d(x,F) est un minimum atteint en un point, et un seul, z = p F (x) , et l'on a :
x
2
= =p F (x)
2
+ d(x,F)
2 .
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