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F I C H E 2 3 – O r t h o g o n a l i t é
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• Propriétés
E
⊥
= {0} ; {0}
⊥
= E ; F⊥G ⇐⇒ F ⊂ G
⊥
⇐⇒ G ⊂ F
⊥ .
F ⊂ G ⇒ G
⊥
⊂ F
⊥ ; F ⊂
F
⊥
⊥ ; F ∩ F
⊥
= {0} .
III Supplémentaire orthogonal
• Définition
Dans un espace préhilbertien E, deux sous-espaces vectoriels F et G sont dits supplémentaires orthogonaux dans E quand :
E = F ⊕ G
et
F⊥G .
On note souvent cette situation : E = F
⊥
⊕ G.
• Propriété
Si F et G sont supplémentaires orthogonaux dans E, on a F = G
⊥ , G = F
⊥ , d'où
F
⊥
⊥ = F.
• Projecteur orthogonal, symétrie vectorielle orthogonale
– p ∈ L(E) est un projecteur orthogonal quand p
2
= p et Im p ⊥Ker p . Im p
et Ker p sont alors supplémentaires orthogonaux.
– Dans ce cas, la symétrie vectorielle associée s = 2 p − Id E est une symétrie orthogonale par rapport à Im p, qui est aussi l'ensemble des vecteurs invariants de s.
IV Cas d'un espace euclidien
• Méthode d'orthogonalisation de Schmidt
Soit (x 1 ,. . . ,x n ) une famille libre de E ; il existe une famille libre orthogonale
(y 1 ,. . . ,y n ) telle que Vect(x 1 ,. . . ,x n ) = Vect(y 1 ,. . . ,y n ) .
Dans la méthode de Schmidt, elle se construit par récurrence en posant :
y 1 = x 1 puis y k = x k −
k−1
i=1
λ i y i avec λ i =
< y i |x k >
< y i |y i >
.
Les dénominateurs ci-dessus ne s'annulent jamais.
• Intérêt d'une base orthonormale
Soit E muni d'une base orthonormale (e 1 ,. . . ,e n ).
Si x =
n
i=1
x i e i , on a : x i =< x|e i > .