120 A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s
Orthogonalité
I Vecteurs orthogonaux
• Définitions
Deux vecteurs x et y sont orthogonaux si < x|y >= 0 ; on note x⊥y.
Une famille de vecteurs (x i ) i∈I est orthogonale si ses vecteurs sont deux à deux
orthogonaux.
Une famille de vecteurs (x i ) i∈I est orthonormale si elle est orthogonale et si les
vecteurs sont tous unitaires (c'est-à-dire de norme égale à 1).
• Propriété
Une famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre.
• Théorème de Pythagore
Si (x i ) i∈I est une famille orthogonale finie, on a :
i∈I
x i
2 =
i∈I
x i
2 .
II Sous-espaces
vectoriels orthogonaux
• Définitions
Soit F et G deux sous-espaces vectoriels d'un espace préhilbertien E.
On dit que F et G sont orthogonaux, et on note F⊥G, quand :
∀x ∈ F ∀y ∈ G < x|y >= 0 .
FICHE 23
Dans R
3 , on définit ainsi l'orthogonalité d'une droite et d'un plan, mais deux plans ne
peuvent pas être orthogonaux.
L'orthogonal de F est le sous-espace vectoriel défini par :
F
⊥
= {x ∈ E ; ∀y ∈ F < x|y >= 0} .