Si (i, j) = (k,l), on a ϕ(E i j ,E i j ) = tr
E ji E i j
= tr
E j j
= 1.
Si (i, j) = / (k,l), on a i = / k ou j = / l.
Pour i = / k, on a E ji E kl = 0 , d'où ϕ(E i j ,E kl ) = 0.
Pour i = k, on a E ji E kl = E jl , d'où ϕ(E i j ,E kl ) = tr(E jl ) = 0 puisque j = / l.
La famille
E i j
1in
1 jn
est donc une base orthonormale de M n (R).
3. En appliquant l'inégalité de Cauchy-Schwarz au produit scalaire ϕ et aux matrices
A et I n , on obtient :
|ϕ(I n ,A)|
ϕ(I n ,I n )ϕ(A,A)
c'est-à-dire :
|trA|
n tr( t A A) .
L'égalité a lieu si, et seulement si, les deux vecteurs A et I n sont colinéaires, c'est-àdire si A est une matrice scalaire.
A p p l i c a t i o n
Soit R
n muni de sa base canonique (e i ), q une forme quadratique définie positive
et f sa forme polaire. La matrice de f est A =
a i j
. Montrez que :
1. on a a ii > 0 pour tout i ;
2. on a max
i j
|a i, j | = max
i
|a ii | .
S o l u t i o n
1. Comme q est définie positive, on a : a ii = f (e i ,e i ) = q(e i ) > 0 .
2. On a toujours max
i j
|a i, j | max
i
|a ii |.
Pour démontrer l'autre inégalité, considérons i = / j quelconques. On a :
q(e i + e j ) = q(e i ) + q(e j ) + 2a i j > 0 et
q(e i − e j ) = q(e i ) + q(e j ) − 2a i j > 0,
ce qui entraîne : 2|a i j | < a ii + a j j 2 max
i
|a ii |
puis : max
i j
|a i, j | max
i
|a ii |. L'égalité annoncée est donc démontrée.
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F I C H E 2 2 – E s p a c e s p r é h i l b e r t i e n s
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