S o l u t i o n
1. Une matrice carrée et sa transposée ont la même trace puisque les éléments diagonaux sont les mêmes.
Soit A et B deux matrices de M n (R) et C = AB =
c i j
.
Comme c i j =
n
k=1
a ik b k j , on a
tr C =
n
i=1
n
k=1
a ik b ki =
n
k=1
n
i=1
b ik a ki = tr(B A) .
tr est une forme linéaire sur M n (R) puisque elle est à valeurs réelles et :
tr(αA + βB) =
n
i=1
(α a ii + β b ii ) = α
n
i=1
a ii + β
n
i=1
b ii = α trA + β trB .
2. • Pour tout (M,N ) ∈ M
2
n (R) , on a :
ϕ(M,N ) = tr(
t M N) = tr
t (
t M N)
= tr(
t N M) = ϕ(N ,M) .
ϕ est donc symétrique.
Pour tout (M,N,N
) ∈ M
3
n (R) et tout (λ,λ
) ∈ R
2 , on a :
ϕ(M,λ N + λ
N
) = tr
t M(λN + λ
N
)
= λ tr(
t M N) + λ
tr(
t M N
) = λ ϕ(M,N ) + λ
ϕ(M,N
)
ϕ est donc bilinéaire symétrique.
Si M =
m i j
, le terme de
t M M situé sur la i-ième ligne et la j-ième colonne est
n
k=1
m ki m k j . On a donc : ϕ(M,M) =
n
i=1
n
k=1
m ki
2
0 .
D'autre part, si ϕ(M,M) = 0 , l'expression précédente montre que m ki = 0 pour tous
k et i, soit M = 0.
ϕ est donc définie positive, ce qui achève la démonstration de ϕ produit scalaire.
• Soit
E i j
1in
1 jn
la base canonique de M n (R).
Vous savez déjà (sinon, vérifiez les résultats) que :
E i j × E kl = 0
si j = / k
= E il si j = k.
Calculons ϕ(E i j ,E kl ) = tr
t E i j E kl
= tr
E ji E kl
.
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