A p p l i c a t i o n
Soit E = R 2 [X]. On définit :
< P|Q >= P(−1) Q(−1) + P(0) Q(0) + P(1) Q(1) .
Montrez que c'est un produit scalaire sur E.
S o l u t i o n
Il est immédiat que l'application ϕ, de E
2 dans R, définie par :
ϕ(P,Q) = P(−1) Q(−1) + P(0) Q(0) + P(1) Q(1)
est symétrique et bilinéaire.
Elle est positive puisque ϕ(P,P) =
P(−1)
2 +
P(0)
2 +
P(1)
2 0 pour tout P.
Pour montrer qu'elle est définie, considérons un polynôme P tel que
ϕ(P,P) =
P(−1)
2 +
P(0)
2 +
P(1)
2 = 0 .
On a alors P(−1) = P(0) = P(1) = 0. Le polynôme admet 3 racines distinctes, alors
qu'il est de degré 2. On a donc bien P = 0.
A p p l i c a t i o n
1. Si A =
a i j
est une matrice carrée d'ordre n, on appelle trace de A la somme de
ses éléments diagonaux, c'est-à-dire le scalaire trA =
n
i=1
a ii .
Montrez que trA = tr(
t A), que tr(AB) = tr(B A) et que tr est une forme linéaire sur
M n (R).
2. On considère l'application ϕ de M n (R) × M n (R) dans R définie par :
ϕ(M,N ) = tr(
t M N) .
Montrez que ϕ est un produit scalaire sur M n (R) et que la base canonique de
M n (R) est orthonormale.
3. Soit A ∈ M n (R). Montrez que |trA|
n tr
t A A
. Quand a-t-on l'égalité ?
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F I C H E 2 2 – E s p a c e s p r é h i l b e r t i e n s
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