• Norme euclidienne
E étant un R-espace vectoriel muni d'un produit scalaire, en posant
∀x ∈ E
x =
< x | x > ,
on définit une norme sur E.
• Relations entre produit scalaire et norme
Égalité de polarisation
∀x ∈ E ∀y ∈ E
x + y
2
= =x
2
+ +y
2
+ 2 < x | y >
ce qui permet d'obtenir le produit scalaire < x | y > en fonction des normes.
Identité du parallélogramme
∀x ∈ E ∀y ∈ E
x + y
2
+ +x − y
2
= 2
x
2
+ +y
2
.
• Inégalité de Cauchy-Schwarz
∀x ∈ E ∀y ∈ E
< x | y >
xy .
Dans cette inégalité, l'égalité a lieu si, et seulement si, x et y sont liés.
III Espaces euclidiens
• Définition
Un espace vectoriel euclidien E est un espace préhilbertien réel de dimension finie n.
• Propriétés
Il existe une base orthonormale B = (e 1 ,. . . ,e n ) de E et, dans une telle base, pour
tout x ∈ E et y ∈ E, on a :
x =
n
i=1
< e i |x > e i ; < x|y >=
t XY ; x =
n
i=1
x
2
i
où X et Y sont les matrices colonnes des composantes de x et de y dans B.
• Orientation
Orientation de E
Une base orthonormale B 0 étant choisie, on dit que B est une base directe si
det B 0 B > 0 et indirecte si det B 0 B < 0.
Orientation d'un hyperplan
Un hyperplan est orienté par le choix d'un vecteur normal − → n .
Une base B de H est dite directe si, et seulement si,
B, − → n
est une base directe
de E.
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