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F I C H E 2 2 – E s p a c e s p r é h i l b e r t i e n s
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Matrice d'une forme bilinéaire
Si x =
n
i=1
x i e i et y =
n
j=1
y j e j , alors f (x,y) =
i, j
x i y j f (e i ,e j ) .
La matrice de f dans la base B est la matrice A de M n (K) de terme général
a i j = f (e i ,e j ).
En posant X =


x 1
. . .
x n

 et Y =


y 1
. . .
y n

 , on a :
f (x,y) =
t X AY =
t Y AX
f est symétrique si, et seulement si, la matrice A est symétrique.
Expression d'une forme quadratique
q(x) est un polynôme homogène de degré 2 en x 1 ,. . . ,x n (combinaison linéaire
d'expressions du type x
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i ou x i x j avec i = / j).
Réciproquement, tout polynôme homogène de degré 2 par rapport aux coordonnées de x dans B est une forme quadratique sur E.
II Espaces préhilbertiens réels
• Produit scalaire
Définitions
Soit E un R-espace vectoriel. Un produit scalaire sur E est une forme bilinéaire ϕ,
symétrique, définie, positive.
On dit que (E,ϕ) est un espace préhilbertien réel.
ϕ(x,y) se note : < x | y > ou (x | y) ou x · y.
Exemples
Dans R
n
< X | Y >=
t XY =
n
i=1
x i y i .
Dans E = C
[a,b],R
< f | g >=
b
a
f (t)g(t)dt .
Dans M n (R) < A | B >= tr
t AB
.