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Espaces
préhilbertiens
I Forme bilinéaire et forme quadratique
• Définitions
Forme bilinéaire symétrique
Une forme bilinéaire f sur E est une application de E × E dans K (sous-corps de
C), linéaire par rapport à chaque variable.
Elle est symétrique si :
∀(x,y) ∈ E × E
f(x,y) = f (y,x) .
Forme quadratique
Une application q de E dans K est une forme quadratique sur E s'il existe une
forme bilinéaire symétrique f telle que :
∀x ∈ E
q(x) = f (x,x) .
q est la forme quadratique associée à f.
Forme polaire d'une forme quadratique
Une forme quadratique q sur E est associée à une seule forme bilinéaire symétrique f donnée par :
∀(x,y) ∈ E × E
f(x,y) =
1
2
q(x + y) − q(x) − q(y)
.
f est la forme polaire de q.
Forme positive
Si K = R, une forme quadratique q, et sa forme polaire f, sont dites positives si :
∀x ∈ E
q(x) 0 .
Forme définie positive
Si K = R, une forme quadratique q, et sa forme polaire f, sont dites définies positives
si :
∀x ∈ E \ {0}
q(x) > 0 .
• Cas où E est de dimension finie
Soit E de dimension n et B = (e 1 ,. . . ,e n ) une base de E.
FICHE 22