A p p l i c a t i o n
Calculez A
n pour A =


−1 0
1
1 −1 0
0
1 −1

 et n ∈ N.
S o l u t i o n
Le polynôme caractéristique de A s'écrit :
det (A − λI 3 ) =
−λ
0
1
−λ −1 − λ
0
−λ
1
−1 − λ
par C 1
C 1 + C 2 + C 3
=
−λ
0
1
0 −1 − λ
−1
0
1
−2 − λ
par L 2
L 2 − L 1 puis L 3
L 3 − L 1
= −λ (λ
2
+ 3λ + 3)
.
A est donc diagonalisable sur C car elle a trois valeurs propres complexes distinctes :
0,
−3 + i
√
3
2
=
√
3 e
5iπ
6 et
√
3 e
− 5iπ
6 .
Pour n 1, A
n est donc de la forme :
A
n
=
√
3
n
e
5inπ
6 B + e
− 5inπ
6 C
=
√
3
n
P cos
5nπ
6
+ Q sin
5nπ
6
.
Pour n = 1 et n = 2 on a :

 
 
A =
√
3
−
√
3
2
P +
1
2
Q
A
2
=
3
1
2
P −
√
3
2
Q
⇐⇒

 
 
P = −
1
3
3A + A
2
Q = −
1
√
3
A + A
2
soit
P = −
1
3


−2 1
1
1 −2 1
1
1 −2

 et Q = −
1
√
3


0
1 −1
−1 0
1
1 −1 0

 .
113
F I C H E 1 9 – D i a g o n a l i s a t i o n d e s e n d o m o r p h i s m e s
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
1
9
−→
−→
−→