• En conclusion, A est diagonalisable. Elle est semblable à :
D =








√
n
0
. . . . . . 0
0 −
√
n
. . .
. . .
. . .
. . .
−1
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . 0
0
. . .
. . . 0 −1








une matrice de passage possible étant :
P =







1 +
√
n 1 −
√
n 0 . . . 0
1
1
1 . . . 1
. . .
. . .
−1
0
. . .
. . .
. . .
1
1
0
−1







.
A p p l i c a t i o n
Soit E un espace vectoriel de dimension n et f un endomorphisme de E de rang 1.
Montrez que Im f ⊂ Ker f si, et seulement si, f n'est pas diagonalisable.
S o l u t i o n
• Supposons Im f ⊂ Ker f . Cette inclusion est équivalente à f
2
= 0. La seule valeur
propre possible est donc 0.
Si f était diagonalisable, on aurait alors f = 0, ce qui serait contradictoire avec
rg f = 1.
f n'est donc pas diagonalisable.
• Montrons la contraposée de l'autre implication. Pour ceci, supposons que Im f ne soit
pas inclus dans Ker f.
Im f est une droite par hypothèse, ce qui entraîne que Ker f est un hyperplan d'après le
théorème du rang. S'il n'y a pas inclusion, on a
E = Im f ⊕ Ker f .
La matrice de f dans une base adaptée à cette somme directe est diagonale puisque
f (e 1 ) ∈ Im f et (e 1 ) base de Im f .
f est donc diagonalisable.
112 A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s