A p p l i c a t i o n
Diagonalisez la matrice
A =







1 1 . . . . . . 1
1 −1 0 . . . 0
. . . 0
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . 0
1 0 . . . 0 −1







∈ M n (R)
pour n 2.
S o l u t i o n
λ est une valeur propre de A si, et seulement si, il existe X =


x 1
. . .
x n

 non nul tel que
AX = λX, c'est-à-dire vérifie le système :
(S)

  
  
x 1 + · · · + x n = λ x 1
x 1
= (λ + 1) x 2
. . .
x 1
= (λ + 1) x n
• Premier cas λ = −1
(S) se réduit alors à
x 1
= 0
x 2 + · · · + x n = 0
Ker(A + I ) est donc de dimension n − 2.
• Second cas λ = / − 1
(S) s'écrit alors :
x 2 = x 3 = · · · = x n =
x 1
λ + 1
x 1 + · · · + x n = λ x 1
⇐⇒



x 2 = x 3 = · · · = x n =
x 1
λ + 1
x 1 + (n − 1)
x 1
λ + 1
= λ x 1
La dernière équation est équivalente à x 1 (λ
2
− n) = 0 .
Donc λ = ε
√
n (avec ε = ±1) est valeur propre de A, le sous-espace propre associé
étant engendré par (λ + 1,1,1,. . . ,1) .
111
F I C H E 1 9 – D i a g o n a l i s a t i o n d e s e n d o m o r p h i s m e s
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
1
9