III Polynômes annulateurs
• Définitions
Polynôme d'un endomorphisme
Étant donnés un endomorphisme f d'un K-espace vectoriel E et un polynôme
P(X) = a 0 + a 1 X + · · · + a p X
p à coefficients dans K, on note P( f ) l'endomorphisme de E défini par :
P( f ) = a 0 Id E + a 1 f + · · · + a p f
p .
Polynôme annulateur
On dit que P est un polynôme annulateur de f si P( f ) = 0.
• Condition nécessaire et suffisante pour f diagonalisable
f est diagonalisable si, et seulement si, il existe un polynôme scindé, annulateur de
f, dont toutes les racines sont simples.
• Théorème de Cayley-Hamilton
Théorème
Si E est de dimension finie, le polynôme caractéristique de f est un polynôme
annulateur de f.
Application au calcul de A
m
Si P est un polynôme annulateur de A, la division euclidienne
X
m
= P(X) Q m (X) + R m (X)
entraîne A
m
= R m (A).
110 A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s
Cette méthode reste valable même si A n'est pas diagonalisable.