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F I C H E 1 9 – D i a g o n a l i s a t i o n d e s e n d o m o r p h i s m e s
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Les zéros de P A sont les valeurs propres de A. Si λ est racine d'ordre m λ de P A ,
on dit que λ est valeur propre d'ordre m λ .
On a toujours 1 dim(E λ ) m λ où E λ est l'espace propre associé.
– Cas où P A est scindé
En désignant par λ i (1 i n) les valeurs propres de A, on a alors :
trA =
n
k=1
λ k
et
detA =
n
k=1
λ k .
II Diagonalisation
Soit E de dimension finie.
• Définitions
Un endomorphisme f ∈ L(E) est diagonalisable s'il existe une base de E dans
laquelle la matrice de f est diagonale, c'est-à-dire s'il existe une base de E formée
de vecteurs propres de f.
Une matrice carrée A est diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale D, c'est-à-dire si elle s'écrit
A = P D P
−1
où P est la matrice de passage de la base canonique de K
n à une base de vecteurs
propres de A.
• Condition suffisante
Si dimE = n et si f a n valeurs propres distinctes, alors f est diagonalisable.
• Condition nécessaire et suffisante
f diagonalisable
⇐⇒ E est somme directe des sous-espaces propres ;
⇐⇒ E admet une base de vecteurs propres ;
⇐⇒ le polynôme caractéristique de f est scindé et, pour toute valeur propre λ k
d'ordre m k , on a :
dim(E λ k ) = m k .
• Calcul de A
m
Si A est diagonalisable, il existe P telle que A = P D P
−1 . On a alors
A
m
= P D
m P
−1 .
Et si D = diag(λ 1 ,. . . ,λ n ) alors D
m
= diag(λ
m
1 ,. . . ,λ
m
n ).