108 A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s
Diagonalisation des
endomorphismes
I Éléments propres
d’un endomorphisme
Soit E un K-espace vectoriel et f ∈ L(E).
• Définitions
– Un vecteur non nul x ∈ E est un vecteur propre de f s'il existe λ ∈ K tel que
f (x) = λ x. Le scalaire λ est la valeur propre associée à x.
– Un scalaire λ ∈ K est une valeur propre de f s'il existe un vecteur non nul x ∈ E
tel que f (x) = λ x. Le vecteur x est un vecteur propre associé à λ.
– L'ensemble E λ = {x ∈ E ; f (x) = λ x} = Ker
f − λ Id E
est le sous-espace
propre associé à λ.
– Le spectre de f est l'ensemble S p ( f ) des valeurs propres de f.
• Propriétés
– λ est une valeur propre de f si, et seulement si, Ker( f − λ Id E ) = / {0}.
En particulier, 0 est valeur propre de f si, et seulement si, Ker f = / {0}, soit f non
injectif.
– Toute famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres toutes distinctes,
est libre.
– La somme de sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes est
directe.
• Polynôme caractéristique
Soit E de dimension finie n et A une matrice carrée représentant un endomorphisme f dans une base fixée.
– Définitions
Le polynôme P(λ) = det(A − λ I n ) est le polynôme caractéristique de A.
Deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique, ce qui permet de
définir le polynôme caractéristique d'un endomorphisme.
FICHE 21