S o l u t i o n
1. Notons A = M
2
=
a pq
. Par définition d'un produit de matrices, on a :
a pq =
n
k=1
m pk m kq =
n
k=1
ω
( p−1) (k−1) ω
(k−1) (q−1)
=
n
k=1
ω
(k−1) (p+q−2)
=
n
k=1
ω
p+q−2
k−1 .
On reconnaît une somme de termes d'une suite géométrique de raison ω
p+q−2 .
• Si ω
p+q−2
= / 1, soit p + q − 2 = / 0 et p + q − 2 = / n, on a :
a pq =
1−
ω
p+q−2
n
1−ω
p+q−2
= 0 car ω
n
= 1.
• Si ω
p+q−2
= 1 , soit p + q − 2 = 0 ou p + q − 2 = n , on a a pq = n.
Donc :
M
2
=






n 0
0
0 0
. . . n
. . .
. . . . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . .
0 n
0 . . . 0






.
2. Dans M
2 , effectuons la permutation des colonnes :
σ =
1 2 . . . n − 1 n
1 n . . .
3
2
,
dont la signature est :
ε (σ) = (−1)
(n−1)+(n−2)+...+1
= (−1)
n (n−1)
2
.
On se ramène ainsi à la matrice scalaire n I n dont le déterminant est égal à n
n .
On obtient donc :
det(M
2
) = (detM)
2
= e (σ) n
n ,
d'où l'on tire :
|detM| = n
n
2 .
107
F I C H E 2 0 – D é t e r m i n a n t s
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
2
0