S o l u t i o n
En développant suivant la première ligne, on obtient une expression de D n sous la
forme d'une différence de deux déterminants d'ordre n − 1 :
D n =
1 1 0 · · · 0
1 1 1 · · · 0
0 1 1 · · · 0
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
0 0 0 · · · 1
−
1 1 0 · · · 0
0 1 1 · · · 0
0 1 1 · · · 0
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
0 0 0 · · · 1
.
En développant le deuxième déterminant suivant la première colonne on obtient :
D n = D n−1 − D n−2 pour tout n 3.
On peut alors utiliser les résultats relatifs aux suites récurrentes linéaires (cf. Express
Analyse fiche 11), ou remarquer que D n−1 = D n−2 − D n−3 pour n 4, ce qui entraîne D n = −D n−3 pour n 4.
Il est alors possible de calculer D 3 p+1 en fonction de D 1 = 1, D 3 p+2 en fonction de
D 2 = 0 et D 3 p en fonction de D 3 = −1 .
On a ainsi :
D 3 p+1 = −D 3( p−1)+1 = (−1)
2 D 3( p−2)+1 = · · · = (−1)
p D 1 = (−1)
p .
De la même manière :
D 3 p+2 = −D 3( p−1)+2 = (−1)
2 D 3( p−2)+2 = · · · = (−1)
p D 2 = 0
et :
D 3 p = −D 3( p−1) = (−1)
2 D 3( p−2) = · · · = (−1)
p−1 D 3 = (−1)
p .
A p p l i c a t i o n
Soit n ∈ N
∗ . On note ω = exp
i
2π
n
et on considère la matrice carrée M, d'ordre n,
dont le terme général situé sur la ligne p et la colonne q est :
m pq = ω
( p−1) (q−1) .
1. Calculez M
2 .
2. Déduisez-en : |detM|.
106 A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s