3. Implication et contraposée
• Montrons que : n pair ⇒ n
2 pair.
Si n est pair, il existe k ∈ N tel que n = 2k. On a alors n
2
= 4k
2
= 2(2k
2
) avec
2k
2
∈ N . n
2 est donc pair.
• Montrons que n
2 pair ⇒ n pair en utilisant la contraposée, c'est-à-dire en démontrant que : n impair ⇒ n
2 impair.
Si n est impair, il existe k ∈ N tel que n = 2k + 1 .
On a alors n
2
= 4k
2
+ 4k + 1 = 2(2k
2
+ 2k) + 1 avec 2k
2
+ 2k ∈ N.
n
2 est donc impair.
4. Raisonnement par disjonction de cas
L'hypothèse x
2
− 9 > 0 se décompose en deux cas.
• Si x > 3, alors x
2
− x − 2 = (x − 2)(x + 1) est le produit de deux facteurs strictement positifs, donc x
2
− x − 2 > 0 .
• Si x < −3, alors x
2
− x − 2 = (x − 2)(x + 1) est le produit de deux facteurs strictement négatifs, donc x
2
− x − 2 > 0 .
5. Négation de quantificateurs
Dans toute ville de France, il existe au moins une place qui ne comporte pas d'agence
bancaire.
6. Publicité et contraposée
En terme de logique, la publicité citée est l'implication :
non moderne ⇒ non client.
Elle a le même sens que sa contraposée :
client ⇒ moderne
c'est-à-dire que tous les clients de la Société Générale sont modernes (qualicatif censé
être à valeur positive).
Si un lecteur se trompe et pense que les clients des autres banques ne sont pas
modernes, le message est plus fort et diffamatoire, mais ce n'est pas ce qui a été dit !
Et des psychologues disent qu'avoir à rétablir une forme affirmative conduit à mieux
adhérer au message !
De bonnes bases de logique sont donc utiles pour ne pas se faire manipuler.
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A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s