A p p l i c a t i o n
Les questions qui suivent sont indépendantes. Elles ont pour but de faire fonctionner
diverses méthodes de raisonnement.
1. Démontrez que, si x est un réel positif, alors
x + 1
x + 2
<
x + 3
x + 4
·
2. Démontrez que la somme d'un rationnel et d'un irrationnel est irrationnelle.
3. Soit n ∈ N. Démontrez que :
n pair ⇐⇒ n
2 pair .
4. Démontrez que, pour tout réel x, si x
2
− 9 > 0 , alors x
2
− x − 2 > 0 .
5. Écrivez la négation de la proposition :
Il existe une ville de France dans laquelle toute place comporte au moins une agence
bancaire.
6. Rétablissez la forme affirmative d'une ancienne publicité :
Si vous n'êtes pas moderne, alors vous n'êtes pas client de la Société Générale.
S o l u t i o n
1. Équivalences logiques successives
Les propositions suivantes sont toutes équivalentes :
x + 1
x + 2
<
x + 3
x + 4
⇐⇒ (x + 1)(x + 4) < (x + 2)(x + 3)
car (x + 2)(x + 4) > 0
⇐⇒ x
2
+ 5x + 4 < x
2
+ 5x + 6
⇐⇒ 4 < 6.
La dernière proposition étant vraie, toutes les propositions précédentes sont vraies, et
l'inégalité de l'énoncé est démontrée.
2. Raisonnement par l'absurde
Considérons deux réels x et y tels que x ∈ Q et y /
∈ Q.
Supposons que x + y soit rationnel. Dans ce cas, (x + y) − x = y serait rationnel,
alors qu'on sait que y /
∈ Q.
On obtient ainsi une contradiction, et on doit rejeter l'hypothèse qui vient d'être formulée, c'est-à-dire conclure que x + y est irrationnel.
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F I C H E 1 – L o g i q u e e t r a i s o n n e m e n t
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
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Les questions qui suivent sont indépendantes. Elles ont pour but de faire fonctionner
diverses méthodes de raisonnement.
1. Démontrez que, si x est un réel positif, alors
x + 1
x + 2
<
x + 3
x + 4
·
2. Démontrez que la somme d'un rationnel et d'un irrationnel est irrationnelle.
3. Soit n ∈ N. Démontrez que :
n pair ⇐⇒ n
2 pair .
4. Démontrez que, pour tout réel x, si x
2
− 9 > 0 , alors x
2
− x − 2 > 0 .
5. Écrivez la négation de la proposition :
Il existe une ville de France dans laquelle toute place comporte au moins une agence
bancaire.
6. Rétablissez la forme affirmative d'une ancienne publicité :
Si vous n'êtes pas moderne, alors vous n'êtes pas client de la Société Générale.
S o l u t i o n
1. Équivalences logiques successives
Les propositions suivantes sont toutes équivalentes :
x + 1
x + 2
<
x + 3
x + 4
⇐⇒ (x + 1)(x + 4) < (x + 2)(x + 3)
car (x + 2)(x + 4) > 0
⇐⇒ x
2
+ 5x + 4 < x
2
+ 5x + 6
⇐⇒ 4 < 6.
La dernière proposition étant vraie, toutes les propositions précédentes sont vraies, et
l'inégalité de l'énoncé est démontrée.
2. Raisonnement par l'absurde
Considérons deux réels x et y tels que x ∈ Q et y /
∈ Q.
Supposons que x + y soit rationnel. Dans ce cas, (x + y) − x = y serait rationnel,
alors qu'on sait que y /
∈ Q.
On obtient ainsi une contradiction, et on doit rejeter l'hypothèse qui vient d'être formulée, c'est-à-dire conclure que x + y est irrationnel.
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