• Négation
La négation de « ∀x ∈ E, x vérifie p » est « ∃ x ∈ E tel que x ne vérifie pas p ».
La négation de « ∃ x ∈ E , x vérifie p » est « ∀x ∈ E, x ne vérifie pas p ».
III Quelques méthodes de démonstration
• Déduction
Si p est vraie et si l'on démontre ( p ⇒ q), alors on peut conclure que q est vraie.
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A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s
Si la démonstration d'une implication vous résiste, pensez à examiner la contraposée.
Elle a le même sens, mais il est possible que sa démonstration soit plus facile.
• Raisonnement par l'absurde
Pour démontrer que p est vraie, on peut supposer que p est fausse et en déduire une
contradiction.
Comme vous partez de « non p », ne vous trompez pas dans la négation, en particulier
en ce qui concerne les quantificateurs.
• Disjonction des cas
Elle est basée sur le fait que :
( p ⇒ q) et (non p ⇒ q)
⇒ q .
• Exemples et contre-exemples
Beaucoup de propositions mathématiques sont de type universel. Dans ce cas,
– un exemple est une illustration, mais ne démontre rien,
– un contre-exemple démontre que la proposition est fausse.
• Raisonnement par récurrence
Voir la fiche 5.