qu’à environ 4 000 bits erronés consécutifs,
l’équivalent d’une rayure sur plus de 2 millimètres de piste !), et celui qu’a utilisé la sonde
spatiale Mariner 9 pour nous envoyer ses
images de la planète Mars.
Une nouvelle famille de codes
faisant appel à la géométrie
algébrique des courbes
L’algèbre abstraite n’est pas le seul instrument dont disposent les spécialistes des
codes correcteurs. Il y a aussi la géométrie,
et plus particulièrement la géométrie algébrique. Celle-ci, très vaste partie des mathématiques actuelles, a pour point de départ
l’étude des objets géométriques — courbes,
surfaces, etc. — définis par des équations
algébriques. Tout lycéen sait par exemple
qu’une parabole peut être représentée
par une équation algébrique, de type
y = ax
2 + bx + c, où x et y sont les coordonnées des points de la parabole. On peut aussi
étudier des courbes définies sur des corps
finis, c’est-à-dire que dans les équations algébriques qui les représentent, les grandeurs
comme x et y ne sont pas n’importe quels
nombres, mais uniquement des éléments
d’un certain corps fini. En utilisant de telles
courbes et l’algèbre associée aux coordonnées de leurs points (qui sont en nombre
fini), on a inauguré, il y a environ vingt ans,
une nouvelle famille de codes correcteurs :
les codes géométriques. Cela a permis récemment d’obtenir de nouveaux résultats concernant les codes binaires, et de construire des
codes encore plus performants que ceux prédits par les travaux de Shannon. En contrepartie, l'analyse des codes géométriques a
conduit les mathématiciens à examiner de
plus près le nombre de points d'une courbe
algébrique définie sur un corps fini. On a là
un bel exemple de la rétroaction positive
qu’un domaine d’application peut exercer
sur la discipline théorique dont il se sert.
Gilles Lachaud
Institut de mathématiques de Luminy,
CNRS, Marseille
Communiquer sans erreurs : les codes correcteurs
87
Quelques références :
• P. Arnoux, « Codage et mathématiques », La
science au présent (édition Encyclopædia
Universalis, 1992).
• P. Arnoux, « Minitel, codage et corps finis »,
Pour la Science (mars 1988).
• G. Lachaud et S. Vladut, « Les codes correcteurs
d’erreurs », La Recherche (juillet-août 1995).
• O. Papini, « Disque compact : « la théorie, c’est
pratique ! » dans « Secrets de nombres », Horssérie n° 6 de la revue Tangente (1998).
• O. Papini et J. Wolfmann, Algèbre discrète et
codes correcteurs (Springer-Verlag, 1995).
• J. Vélu, Méthodes mathématiques pour l’informatique (Dunod, 1995).
• M. Demazure, Cours d’algèbre — primalité,
divisibilité, codes (Cassini, 1997)
l’équivalent d’une rayure sur plus de 2 millimètres de piste !), et celui qu’a utilisé la sonde
spatiale Mariner 9 pour nous envoyer ses
images de la planète Mars.
Une nouvelle famille de codes
faisant appel à la géométrie
algébrique des courbes
L’algèbre abstraite n’est pas le seul instrument dont disposent les spécialistes des
codes correcteurs. Il y a aussi la géométrie,
et plus particulièrement la géométrie algébrique. Celle-ci, très vaste partie des mathématiques actuelles, a pour point de départ
l’étude des objets géométriques — courbes,
surfaces, etc. — définis par des équations
algébriques. Tout lycéen sait par exemple
qu’une parabole peut être représentée
par une équation algébrique, de type
y = ax
2 + bx + c, où x et y sont les coordonnées des points de la parabole. On peut aussi
étudier des courbes définies sur des corps
finis, c’est-à-dire que dans les équations algébriques qui les représentent, les grandeurs
comme x et y ne sont pas n’importe quels
nombres, mais uniquement des éléments
d’un certain corps fini. En utilisant de telles
courbes et l’algèbre associée aux coordonnées de leurs points (qui sont en nombre
fini), on a inauguré, il y a environ vingt ans,
une nouvelle famille de codes correcteurs :
les codes géométriques. Cela a permis récemment d’obtenir de nouveaux résultats concernant les codes binaires, et de construire des
codes encore plus performants que ceux prédits par les travaux de Shannon. En contrepartie, l'analyse des codes géométriques a
conduit les mathématiciens à examiner de
plus près le nombre de points d'une courbe
algébrique définie sur un corps fini. On a là
un bel exemple de la rétroaction positive
qu’un domaine d’application peut exercer
sur la discipline théorique dont il se sert.
Gilles Lachaud
Institut de mathématiques de Luminy,
CNRS, Marseille
Communiquer sans erreurs : les codes correcteurs
87
Quelques références :
• P. Arnoux, « Codage et mathématiques », La
science au présent (édition Encyclopædia
Universalis, 1992).
• P. Arnoux, « Minitel, codage et corps finis »,
Pour la Science (mars 1988).
• G. Lachaud et S. Vladut, « Les codes correcteurs
d’erreurs », La Recherche (juillet-août 1995).
• O. Papini, « Disque compact : « la théorie, c’est
pratique ! » dans « Secrets de nombres », Horssérie n° 6 de la revue Tangente (1998).
• O. Papini et J. Wolfmann, Algèbre discrète et
codes correcteurs (Springer-Verlag, 1995).
• J. Vélu, Méthodes mathématiques pour l’informatique (Dunod, 1995).
• M. Demazure, Cours d’algèbre — primalité,
divisibilité, codes (Cassini, 1997)