W. Hamming (1915-1998), dans les années
1950 (dans ces codes, qui ont été beaucoup
utilisés, les bits de contrôle sont déterminés
en fonction des bits d’information par des
équations linéaires simples).
Les spécialistes se sont alors mis à étudier
de manière systématique les codes correcteurs
et leurs propriétés, dans le but d’obtenir
concrètement des codes aussi performants ou
presque que le prédisaient les résultats théoriques de Shannon. Pour ce faire, ils ont utilisé à fond l’algèbre. Si le codage de l’information se fait directement dans l’« alphabet »
binaire 0 et 1, l’algèbre sous-jacente est celle
du pair et de l’impair, connue déjà de Platon
(pair + pair = pair, pair + impair = impair,
pair x pair = pair, impair x impair = impair, etc.).
En fait, il s’avère plus intéressant de considérer des « alphabets » de codage ayant plus de
deux chiffres, et de traduire seulement à la fin
de la procédure le résultat en suites binaires
de 0 et 1. Comme un alphabet comporte un
nombre fini de symboles, et que l’on souhaite
effectuer des calculs sur ces symboles, l’algèbre
sous-jacente est l’objet de la théorie des corps
finis, créée par le jeune mathématicien français Évariste Galois au début du XIX
e siècle, en
étudiant la résolubilité des équations algébriques (un corps fini est un ensemble d’éléments en nombre fini qui peuvent s’additionner, se multiplier et se diviser de manière
analogue aux nombres ordinaires, le résultat
des opérations restant à l’intérieur de cet
ensemble. L’ensemble constitué par 0 et 1, avec
les règles arithmétiques du pair et de l’impair,
est le corps fini à deux éléments ; c’est le corps
fini le plus simple).
Ainsi, c’est à l’aide d’algèbre abstraite et
élaborée, en liaison avec la théorie des corps
finis, qu’ont été construits des codes correcteurs d’erreurs très efficaces, adaptés à tel ou
tel type de transmission d’information. Deux
exemples parmi une multitude d’autres sont
le code employé pour la gravure des disques
audionumériques (il permet de corriger jus86
L’explosion des mathématiques
Olympus Mons, sur la planète Mars, est le plus grand volcan du système solaire : environ 600 km de diamètre et 27 km de hauteur !
Cette image a été obtenue grâce à la sonde spatiale Mariner 9, en
1971-1972. La sonde envoyait à la Terre ses informations en utilisant un code correcteur capable de corriger jusqu’à 7 bits erronés sur
32. Dans chaque groupe de 32 bits, 26 étaient des bits de contrôle,
et les 6 autres constituaient l’information nette. Aujourd’hui, on dispose de codes correcteurs encore plus performants. (Cliché NASA/JPL)
Quoi qu’en dise ce timbre français émis en 1984, Évariste Galois
n’était pas un géomètre mais un algébriste. C’était le pionnier de la
théorie des groupes, ainsi que de la théorie des corps finis utilisée
notamment par les spécialistes des codes correcteurs d’erreurs. Provoqué
en duel, Galois est mort à l’âge de 21 ans à peine.
1950 (dans ces codes, qui ont été beaucoup
utilisés, les bits de contrôle sont déterminés
en fonction des bits d’information par des
équations linéaires simples).
Les spécialistes se sont alors mis à étudier
de manière systématique les codes correcteurs
et leurs propriétés, dans le but d’obtenir
concrètement des codes aussi performants ou
presque que le prédisaient les résultats théoriques de Shannon. Pour ce faire, ils ont utilisé à fond l’algèbre. Si le codage de l’information se fait directement dans l’« alphabet »
binaire 0 et 1, l’algèbre sous-jacente est celle
du pair et de l’impair, connue déjà de Platon
(pair + pair = pair, pair + impair = impair,
pair x pair = pair, impair x impair = impair, etc.).
En fait, il s’avère plus intéressant de considérer des « alphabets » de codage ayant plus de
deux chiffres, et de traduire seulement à la fin
de la procédure le résultat en suites binaires
de 0 et 1. Comme un alphabet comporte un
nombre fini de symboles, et que l’on souhaite
effectuer des calculs sur ces symboles, l’algèbre
sous-jacente est l’objet de la théorie des corps
finis, créée par le jeune mathématicien français Évariste Galois au début du XIX
e siècle, en
étudiant la résolubilité des équations algébriques (un corps fini est un ensemble d’éléments en nombre fini qui peuvent s’additionner, se multiplier et se diviser de manière
analogue aux nombres ordinaires, le résultat
des opérations restant à l’intérieur de cet
ensemble. L’ensemble constitué par 0 et 1, avec
les règles arithmétiques du pair et de l’impair,
est le corps fini à deux éléments ; c’est le corps
fini le plus simple).
Ainsi, c’est à l’aide d’algèbre abstraite et
élaborée, en liaison avec la théorie des corps
finis, qu’ont été construits des codes correcteurs d’erreurs très efficaces, adaptés à tel ou
tel type de transmission d’information. Deux
exemples parmi une multitude d’autres sont
le code employé pour la gravure des disques
audionumériques (il permet de corriger jus86
L’explosion des mathématiques
Olympus Mons, sur la planète Mars, est le plus grand volcan du système solaire : environ 600 km de diamètre et 27 km de hauteur !
Cette image a été obtenue grâce à la sonde spatiale Mariner 9, en
1971-1972. La sonde envoyait à la Terre ses informations en utilisant un code correcteur capable de corriger jusqu’à 7 bits erronés sur
32. Dans chaque groupe de 32 bits, 26 étaient des bits de contrôle,
et les 6 autres constituaient l’information nette. Aujourd’hui, on dispose de codes correcteurs encore plus performants. (Cliché NASA/JPL)
Quoi qu’en dise ce timbre français émis en 1984, Évariste Galois
n’était pas un géomètre mais un algébriste. C’était le pionnier de la
théorie des groupes, ainsi que de la théorie des corps finis utilisée
notamment par les spécialistes des codes correcteurs d’erreurs. Provoqué
en duel, Galois est mort à l’âge de 21 ans à peine.