Moyennant ces hypothèses, on trouve que le
prix de l’option obéit à une certaine équation
aux dérivées partielles (équation différentielle
où la fonction inconnue dépend de plusieurs
variables). Dans le cas le plus simple, étudié
indépendamment par les Américains Fischer
Black et Myron Scholes d’une part et Robert
Merton d’autre part en 1973, cette équation
est la même que l’équation de diffusion de la
chaleur, bien connue des physiciens. Il est alors
possible de la résoudre explicitement et de
déterminer le prix de l’option en fonction de
ses propres caractéristiques (échéance, prix
d’exercice) ainsi que du cours de l’action et
de sa volatilité : c’est la formule de BlackScholes et Merton, qui a valu à Scholes et
Merton le prix Nobel d’économie en 1997
(Black est décédé en 1995).
Cette formule et ses variantes sont utilisées
dans toutes les places financières du monde.
Programmées sur tous les ordinateurs des salles
de marché, mises à contribution d’innombrables
fois par jour, elles sont l’exemple même du lien
possible entre mathématiques théoriques et
applications concrètes. La formule de BlackScholes et Merton ne correspond cependant
qu’au cas simpliste où taux d’intérêts, taux de
rendements moyens, niveaux de risque, etc.,
demeureraient constants au cours du temps. Dès
que l’on modifie ces hypothèses, les équations
obtenues ne sont plus équivalentes à celle de la
diffusion de la chaleur. Les équations pertinentes
en sont des variantes, et elles nécessitent le plus
souvent des méthodes de résolution — implicites, explicites ou numériques — spécifiques.
C’est en travaillant sur certaines de ces équations que les chercheurs français C. Daher et
M. Romano, qui travaillaient à l’époque à l’université Paris-Dauphine et à la Caisse autonome
de refinancement, ont obtenu en 1990 le prix
IBM de calcul numérique intensif.
Enfin, lorsqu’on essaye d’être plus réaliste
et de prendre en compte les coûts de transaction, les diverses contraintes imposées par le
marché ou encore l’impact du nombre des transactions sur les prix, les techniques du calcul stochastique classique ne suffisent plus. Il faut développer, comme cela a été fait ces dernières
années, des outils spécifiques comme les équations différentielles stochastiques rétrogrades
ou des méthodes fines de dualité en contrôle
optimal stochastique. On découvre alors, et cela
peut surprendre, que ces nouvelles idées mathématiques, développées pour résoudre des problèmes économiques et financiers, s’avèrent liées
à des problèmes déjà rencontrés en géométrie
ou en physique — par exemple la déformation
de surfaces ou la fonte de glaçons — et qu’elles
éclairent ces derniers d’un jour nouveau.
Elyès Jouini
Professeur des Universités, CEREMADE (Centre
de mathématiques de la décision)
Université Paris-Dauphine (Paris 9)
Le prix des option financières
83
Quelques références :
• N. Bouleau, Martingales et marchés financiers
(Odile Jacob, 1998).
• F. Black et M. Scholes, « The pricing of options
and corporate liabilities », Journal of Political
Economy, 81, pp. 637-654 (1973).
• C. Huang et R. Litzenberger, Foundations for
financial economics (North-Holland, 1988).
• L. Walras, Éléments d'économie politique pure ou
théorie de la richesse sociale (Corbaz, Lausanne,
1874, édition définitive revue et augmentée par
l'auteur, LGDJ, Paris, 1952).
prix de l’option obéit à une certaine équation
aux dérivées partielles (équation différentielle
où la fonction inconnue dépend de plusieurs
variables). Dans le cas le plus simple, étudié
indépendamment par les Américains Fischer
Black et Myron Scholes d’une part et Robert
Merton d’autre part en 1973, cette équation
est la même que l’équation de diffusion de la
chaleur, bien connue des physiciens. Il est alors
possible de la résoudre explicitement et de
déterminer le prix de l’option en fonction de
ses propres caractéristiques (échéance, prix
d’exercice) ainsi que du cours de l’action et
de sa volatilité : c’est la formule de BlackScholes et Merton, qui a valu à Scholes et
Merton le prix Nobel d’économie en 1997
(Black est décédé en 1995).
Cette formule et ses variantes sont utilisées
dans toutes les places financières du monde.
Programmées sur tous les ordinateurs des salles
de marché, mises à contribution d’innombrables
fois par jour, elles sont l’exemple même du lien
possible entre mathématiques théoriques et
applications concrètes. La formule de BlackScholes et Merton ne correspond cependant
qu’au cas simpliste où taux d’intérêts, taux de
rendements moyens, niveaux de risque, etc.,
demeureraient constants au cours du temps. Dès
que l’on modifie ces hypothèses, les équations
obtenues ne sont plus équivalentes à celle de la
diffusion de la chaleur. Les équations pertinentes
en sont des variantes, et elles nécessitent le plus
souvent des méthodes de résolution — implicites, explicites ou numériques — spécifiques.
C’est en travaillant sur certaines de ces équations que les chercheurs français C. Daher et
M. Romano, qui travaillaient à l’époque à l’université Paris-Dauphine et à la Caisse autonome
de refinancement, ont obtenu en 1990 le prix
IBM de calcul numérique intensif.
Enfin, lorsqu’on essaye d’être plus réaliste
et de prendre en compte les coûts de transaction, les diverses contraintes imposées par le
marché ou encore l’impact du nombre des transactions sur les prix, les techniques du calcul stochastique classique ne suffisent plus. Il faut développer, comme cela a été fait ces dernières
années, des outils spécifiques comme les équations différentielles stochastiques rétrogrades
ou des méthodes fines de dualité en contrôle
optimal stochastique. On découvre alors, et cela
peut surprendre, que ces nouvelles idées mathématiques, développées pour résoudre des problèmes économiques et financiers, s’avèrent liées
à des problèmes déjà rencontrés en géométrie
ou en physique — par exemple la déformation
de surfaces ou la fonte de glaçons — et qu’elles
éclairent ces derniers d’un jour nouveau.
Elyès Jouini
Professeur des Universités, CEREMADE (Centre
de mathématiques de la décision)
Université Paris-Dauphine (Paris 9)
Le prix des option financières
83
Quelques références :
• N. Bouleau, Martingales et marchés financiers
(Odile Jacob, 1998).
• F. Black et M. Scholes, « The pricing of options
and corporate liabilities », Journal of Political
Economy, 81, pp. 637-654 (1973).
• C. Huang et R. Litzenberger, Foundations for
financial economics (North-Holland, 1988).
• L. Walras, Éléments d'économie politique pure ou
théorie de la richesse sociale (Corbaz, Lausanne,
1874, édition définitive revue et augmentée par
l'auteur, LGDJ, Paris, 1952).