Supposons à présent, pour simplifier le
problème, que le marché ne fonctionne qu’à
deux dates, aujourd’hui et dans trois mois, et
que le prix S de l’action dans trois mois ne
pourra prendre que deux valeurs, disons soit
100 soit 150 euros. Supposons de plus que K,
le prix d’achat convenu pour l’action à
l’échéance de l’option, soit compris entre la
valeur haute S h = 150 euros et la valeur basse
S b = 100 euros, par exemple K = 140 euros. Si
le prix de l’action dans trois mois est la valeur
haute 150 euros, le détenteur de l’option
exerce son droit et l’achète au prix préalablement convenu K = 140 euros ; le gain associé
à l’option vaut donc S h – K = 150 – 140
= 10 euros. Si le prix de l’action dans trois mois
est la valeur basse 100 euros, le détenteur de
l’option renonce à exercer son droit d’achat
au prix K, qui est supérieur ; le gain associé à
l’option est, dans ce cas, nul.
On peut démontrer qu’un tel gain peut
également être obtenu en se constituant un
portefeuille ne comportant que des actions et
des placements (ou prêts) sur le taux d’intérêt
du marché, que l’on notera ici r. Appelons C le
coût de constitution d’un tel portefeuille. Deux
actifs aux rendements identiques devant avoir
le même prix (on prouve que sinon, le principe
de non-arbitrage serait violé), on en conclut
que le prix de l’option doit être égal à C.
Le coût C du portefeuille, égal à celui de
l’option, peut être déterminé de façon précise.
On démontre que C est une moyenne pondérée des paiements actualisés de l’option, c’està-dire une moyenne pondérée des montants
(S h – K)/(1 + r) et 0/(1 + r) = 0, et que les poids
intervenant dans cette moyenne sont tels que
le prix S de l’action aujourd’hui est, lui-même,
une moyenne pondérée des paiements actualisés de l’action (S h /(1 + r) et S b /(1 + r)) avec les
mêmes poids. Plus précisément, on prouve
qu’il existe une loi de probabilité telle que le
prix de tout actif est égal à l’espérance, calculée d’après cette loi, de ses paiements actualisés futurs. Ce dernier résultat est obtenu grâce
à de l’algèbre linéaire élémentaire, et concerne
le modèle simple présenté ci-dessus. Mais grâce
à des techniques d’analyse convexe apparues
au milieu du XX
e siècle, il se généralise au cas
où l’action peut prendre plusieurs valeurs différentes (en nombre fini).
Le calcul stochastique : quand
finance et mathématiques théoriques
s’enrichissent mutuellement
Cependant, si l’on souhaite adhérer davantage à la réalité et considérer un modèle en
temps continu et avec un continuum de prix
possibles, il faut alors, pour interpréter le
même principe simple d’arbitrage, faire appel
à des notions plus avancées de la théorie des
probabilités, apparues dans la deuxième moitié du XX e siècle. Il s’agit plus précisément de
la théorie des processus stochastiques (processus où des quantités évoluent aléatoirement au cours du temps) et la théorie des
équations différentielles stochastiques (équations différentielles où interviennent des quantités aléatoires). Dans ces domaines, les développements les plus récents sont étroitement
liés aux problèmes rencontrés en finance.
Ces modèles supposent que le cours de
l’action évolue avec un taux de rendement
déterministe (non aléatoire), auquel s’ajoute
un terme aléatoire de moyenne nulle et d’amplitude propre à l’actif considéré. Cette fluctuation aléatoire est appelée volatilité et peut
dépendre du temps et de nombreux autres
événements endogènes ou exogènes.
82
L’explosion des mathématiques
problème, que le marché ne fonctionne qu’à
deux dates, aujourd’hui et dans trois mois, et
que le prix S de l’action dans trois mois ne
pourra prendre que deux valeurs, disons soit
100 soit 150 euros. Supposons de plus que K,
le prix d’achat convenu pour l’action à
l’échéance de l’option, soit compris entre la
valeur haute S h = 150 euros et la valeur basse
S b = 100 euros, par exemple K = 140 euros. Si
le prix de l’action dans trois mois est la valeur
haute 150 euros, le détenteur de l’option
exerce son droit et l’achète au prix préalablement convenu K = 140 euros ; le gain associé
à l’option vaut donc S h – K = 150 – 140
= 10 euros. Si le prix de l’action dans trois mois
est la valeur basse 100 euros, le détenteur de
l’option renonce à exercer son droit d’achat
au prix K, qui est supérieur ; le gain associé à
l’option est, dans ce cas, nul.
On peut démontrer qu’un tel gain peut
également être obtenu en se constituant un
portefeuille ne comportant que des actions et
des placements (ou prêts) sur le taux d’intérêt
du marché, que l’on notera ici r. Appelons C le
coût de constitution d’un tel portefeuille. Deux
actifs aux rendements identiques devant avoir
le même prix (on prouve que sinon, le principe
de non-arbitrage serait violé), on en conclut
que le prix de l’option doit être égal à C.
Le coût C du portefeuille, égal à celui de
l’option, peut être déterminé de façon précise.
On démontre que C est une moyenne pondérée des paiements actualisés de l’option, c’està-dire une moyenne pondérée des montants
(S h – K)/(1 + r) et 0/(1 + r) = 0, et que les poids
intervenant dans cette moyenne sont tels que
le prix S de l’action aujourd’hui est, lui-même,
une moyenne pondérée des paiements actualisés de l’action (S h /(1 + r) et S b /(1 + r)) avec les
mêmes poids. Plus précisément, on prouve
qu’il existe une loi de probabilité telle que le
prix de tout actif est égal à l’espérance, calculée d’après cette loi, de ses paiements actualisés futurs. Ce dernier résultat est obtenu grâce
à de l’algèbre linéaire élémentaire, et concerne
le modèle simple présenté ci-dessus. Mais grâce
à des techniques d’analyse convexe apparues
au milieu du XX
e siècle, il se généralise au cas
où l’action peut prendre plusieurs valeurs différentes (en nombre fini).
Le calcul stochastique : quand
finance et mathématiques théoriques
s’enrichissent mutuellement
Cependant, si l’on souhaite adhérer davantage à la réalité et considérer un modèle en
temps continu et avec un continuum de prix
possibles, il faut alors, pour interpréter le
même principe simple d’arbitrage, faire appel
à des notions plus avancées de la théorie des
probabilités, apparues dans la deuxième moitié du XX e siècle. Il s’agit plus précisément de
la théorie des processus stochastiques (processus où des quantités évoluent aléatoirement au cours du temps) et la théorie des
équations différentielles stochastiques (équations différentielles où interviennent des quantités aléatoires). Dans ces domaines, les développements les plus récents sont étroitement
liés aux problèmes rencontrés en finance.
Ces modèles supposent que le cours de
l’action évolue avec un taux de rendement
déterministe (non aléatoire), auquel s’ajoute
un terme aléatoire de moyenne nulle et d’amplitude propre à l’actif considéré. Cette fluctuation aléatoire est appelée volatilité et peut
dépendre du temps et de nombreux autres
événements endogènes ou exogènes.
82
L’explosion des mathématiques