Le problème qui va nous intéresser ici est
l’évaluation des options financières. La question est aussi vieille que les options ellesmêmes, dont on trouve notamment trace dans
l’Antiquité et au XVII
e siècle sur le marché des
tulipes aux Pays-Bas. C’est pourtant en 1973,
comme on le verra plus loin, que cette question a trouvé sa première réponse mathématiquement satisfaisante. Et ce n’est pas un
hasard si c’est la même année que le premier
marché organisé d’options, celui de Chicago,
a connu un essor jamais démenti depuis.
Qu’est-ce qu’une option financière ?
Considérons une certaine action cotée sur les
marchés financiers, et dont le prix est, aujourd’hui, égal à S. Les marchés financiers offrent
aux acheteurs potentiels, par le biais d’une
option, la possibilité d’acheter cette action à
une date ultérieure, mettons dans trois mois,
au prix K. Cela peut être intéressant pour un
acheteur qui, par exemple, ne dispose pas
encore de l’argent nécessaire et veut se garantir contre une augmentation du prix de l’action. Une telle option est une sorte de contrat
d’assurance, qui confère le droit d’acheter
l’action à une date ultérieure à un prix
garanti K. Évidemment, ce droit doit lui-même
être vendu à un certain prix, mais lequel? Telle
est la question de l’évaluation du prix des
options. Pour parler en termes financiers: quel
doit être le prix d’une option sur l’action S,
de « strike » ou prix d’exercice K et d’échéance
trois mois ?
Il est clair que l’acheteur d’un tel droit ne
l’exercera que si, dans trois mois, le prix de
l’action sur le marché est supérieur à K. Il
pourra alors acheter l’action au prix K,
revendre au prix courant et réaliser un bénéfice égal à la différence. Cette option procure
donc à son acheteur, dans trois mois, un gain
égal à la différence entre le prix courant de
l’action et K, si cette différence est positive,
et un gain nul sinon.
Le principe de non-arbitrage est
à la base de la détermination des
prix des actifs financiers
Pour fixer le prix d’une telle option, la
théorie de l’arbitrage s’appuie sur un principe
très simple, voire simpliste : l’absence d’opportunités d’arbitrage. En d’autres termes, ce
principe affirme qu’il n’est pas possible, à partir d’un investissement nul aujourd’hui, de se
garantir, quoi qu’il arrive, un paiement positif à une date ultérieure (on n’a rien pour rien).
Le principe d’absence d’opportunités d’arbitrage ne signifie pas que des gains miraculeux
soient impossibles. En effet, je peux très bien
emprunter le prix d’un billet de loterie et acheter un tel billet — mon apport personnel est
donc nul — puis gagner un million d’euros,
rembourser mon emprunt et dégager un bénéfice énorme. Le principe énonce seulement
qu’un tel bénéfice ne saurait être garanti a
priori. En effet, dans l’opération précédente,
je peux également ne rien gagner et être
obligé de rembourser mon emprunt : j’ai donc
pris un risque de perte.
Ainsi, l’absence d’opportunités d’arbitrage
signifie tout simplement que tout gain supérieur au rendement d’un actif sans risque de
référence (taux d’intérêts, obligations, bons
du Trésor, etc.) est nécessairement lié à un
risque. Les SICAV, par exemple, ont un rendement moyen supérieur à celui du marché
monétaire ; toutefois, ce rendement n’est pas
garanti et peut très bien, comme nous l’avons
vu au cours de l’année 2001, passer en dessous de celui du marché monétaire.
Le prix des option financières
81
l’évaluation des options financières. La question est aussi vieille que les options ellesmêmes, dont on trouve notamment trace dans
l’Antiquité et au XVII
e siècle sur le marché des
tulipes aux Pays-Bas. C’est pourtant en 1973,
comme on le verra plus loin, que cette question a trouvé sa première réponse mathématiquement satisfaisante. Et ce n’est pas un
hasard si c’est la même année que le premier
marché organisé d’options, celui de Chicago,
a connu un essor jamais démenti depuis.
Qu’est-ce qu’une option financière ?
Considérons une certaine action cotée sur les
marchés financiers, et dont le prix est, aujourd’hui, égal à S. Les marchés financiers offrent
aux acheteurs potentiels, par le biais d’une
option, la possibilité d’acheter cette action à
une date ultérieure, mettons dans trois mois,
au prix K. Cela peut être intéressant pour un
acheteur qui, par exemple, ne dispose pas
encore de l’argent nécessaire et veut se garantir contre une augmentation du prix de l’action. Une telle option est une sorte de contrat
d’assurance, qui confère le droit d’acheter
l’action à une date ultérieure à un prix
garanti K. Évidemment, ce droit doit lui-même
être vendu à un certain prix, mais lequel? Telle
est la question de l’évaluation du prix des
options. Pour parler en termes financiers: quel
doit être le prix d’une option sur l’action S,
de « strike » ou prix d’exercice K et d’échéance
trois mois ?
Il est clair que l’acheteur d’un tel droit ne
l’exercera que si, dans trois mois, le prix de
l’action sur le marché est supérieur à K. Il
pourra alors acheter l’action au prix K,
revendre au prix courant et réaliser un bénéfice égal à la différence. Cette option procure
donc à son acheteur, dans trois mois, un gain
égal à la différence entre le prix courant de
l’action et K, si cette différence est positive,
et un gain nul sinon.
Le principe de non-arbitrage est
à la base de la détermination des
prix des actifs financiers
Pour fixer le prix d’une telle option, la
théorie de l’arbitrage s’appuie sur un principe
très simple, voire simpliste : l’absence d’opportunités d’arbitrage. En d’autres termes, ce
principe affirme qu’il n’est pas possible, à partir d’un investissement nul aujourd’hui, de se
garantir, quoi qu’il arrive, un paiement positif à une date ultérieure (on n’a rien pour rien).
Le principe d’absence d’opportunités d’arbitrage ne signifie pas que des gains miraculeux
soient impossibles. En effet, je peux très bien
emprunter le prix d’un billet de loterie et acheter un tel billet — mon apport personnel est
donc nul — puis gagner un million d’euros,
rembourser mon emprunt et dégager un bénéfice énorme. Le principe énonce seulement
qu’un tel bénéfice ne saurait être garanti a
priori. En effet, dans l’opération précédente,
je peux également ne rien gagner et être
obligé de rembourser mon emprunt : j’ai donc
pris un risque de perte.
Ainsi, l’absence d’opportunités d’arbitrage
signifie tout simplement que tout gain supérieur au rendement d’un actif sans risque de
référence (taux d’intérêts, obligations, bons
du Trésor, etc.) est nécessairement lié à un
risque. Les SICAV, par exemple, ont un rendement moyen supérieur à celui du marché
monétaire ; toutefois, ce rendement n’est pas
garanti et peut très bien, comme nous l’avons
vu au cours de l’année 2001, passer en dessous de celui du marché monétaire.
Le prix des option financières
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