de prémisses dans les démonstrations, et des
règles pour déduire une formule d’une autre.
Les mathématiques sont remplacées par un
stock de formules. Une démonstration consiste
en manipulations de symboles selon des règles
explicites, abstraction faite du sens des symboles. Une démonstration se présente comme
un assemblage de symboles conforme à des
règles explicites, un dessin construit selon les
règles qu’on s’est fixé. La seconde tâche est
de démontrer la non-contradiction de ces systèmes formels au moyen de raisonnements
finitistes, c’est-à-dire ne faisant pas intervenir
l’infini actuel.
La première théorie à laquelle Hilbert tente
d’appliquer ce programme est l’arithmétique,
qui comporte déjà des raisonnements transfinis. Ainsi, Hilbert ouvre une théorie de la
démonstration, qui consiste en raisonnements
finitistes portant sur les dessins qui représentent les démonstrations dans un système formel. Toutefois, en 1931, le logicien autrichien
Kurt Gödel établit qu’il est impossible de prouver, au moyen de raisonnements finitistes, la
non-contradiction d’un système formel
incluant l’arithmétique élémentaire. Il faut
donc renoncer au programme initial de Hilbert.
La méthode abstraite et
le programme formaliste ont fasciné
les philosophes
Il reste que Hilbert a réussi à transformer
une question philosophique, celle du fondement, en un problème mathématique, traité
au moyen de la méthode abstraite et relevant
d’une nouvelle théorie, la théorie de la
démonstration, qui reste aujourd’hui encore
vivante. En retour, la méthode abstraite et le
programme formaliste qu’elle sous-tend ont
exercé une sorte de fascination sur les philosophes. D’emblée, dans ses Recherches logiques
de 1901, puis dans Logique formelle et logique
transcendantale de 1929, Husserl intègre la
représentation abstraite des mathématiques
à la phénoménologie naissante. Husserl distingue deux mathématiques, une mathématique appliquée, qui comprend par exemple
la géométrie en tant que théorie de notre
espace, l’espace dans lequel nous vivons, et
une mathématique formelle. Partant d’une
théorie appliquée, un mathématicien en
dégage l’architecture et isole un système
d’axiomes, qu’il peut ensuite faire varier pour
obtenir de nouvelles formes pour des théories
possibles. Ainsi, la mathématique formelle
apparaît comme une théorie des formes de
théories ou, dans le vocabulaire de Husserl,
une apophantique formelle, qui vise à définir
54
L’explosion des mathématiques
Edmund Husserl (1859-1938), qui s’est en partie inspiré de problématiques mathématiques pour édifier sa philosophie. (Cliché AKG)
règles pour déduire une formule d’une autre.
Les mathématiques sont remplacées par un
stock de formules. Une démonstration consiste
en manipulations de symboles selon des règles
explicites, abstraction faite du sens des symboles. Une démonstration se présente comme
un assemblage de symboles conforme à des
règles explicites, un dessin construit selon les
règles qu’on s’est fixé. La seconde tâche est
de démontrer la non-contradiction de ces systèmes formels au moyen de raisonnements
finitistes, c’est-à-dire ne faisant pas intervenir
l’infini actuel.
La première théorie à laquelle Hilbert tente
d’appliquer ce programme est l’arithmétique,
qui comporte déjà des raisonnements transfinis. Ainsi, Hilbert ouvre une théorie de la
démonstration, qui consiste en raisonnements
finitistes portant sur les dessins qui représentent les démonstrations dans un système formel. Toutefois, en 1931, le logicien autrichien
Kurt Gödel établit qu’il est impossible de prouver, au moyen de raisonnements finitistes, la
non-contradiction d’un système formel
incluant l’arithmétique élémentaire. Il faut
donc renoncer au programme initial de Hilbert.
La méthode abstraite et
le programme formaliste ont fasciné
les philosophes
Il reste que Hilbert a réussi à transformer
une question philosophique, celle du fondement, en un problème mathématique, traité
au moyen de la méthode abstraite et relevant
d’une nouvelle théorie, la théorie de la
démonstration, qui reste aujourd’hui encore
vivante. En retour, la méthode abstraite et le
programme formaliste qu’elle sous-tend ont
exercé une sorte de fascination sur les philosophes. D’emblée, dans ses Recherches logiques
de 1901, puis dans Logique formelle et logique
transcendantale de 1929, Husserl intègre la
représentation abstraite des mathématiques
à la phénoménologie naissante. Husserl distingue deux mathématiques, une mathématique appliquée, qui comprend par exemple
la géométrie en tant que théorie de notre
espace, l’espace dans lequel nous vivons, et
une mathématique formelle. Partant d’une
théorie appliquée, un mathématicien en
dégage l’architecture et isole un système
d’axiomes, qu’il peut ensuite faire varier pour
obtenir de nouvelles formes pour des théories
possibles. Ainsi, la mathématique formelle
apparaît comme une théorie des formes de
théories ou, dans le vocabulaire de Husserl,
une apophantique formelle, qui vise à définir
54
L’explosion des mathématiques
Edmund Husserl (1859-1938), qui s’est en partie inspiré de problématiques mathématiques pour édifier sa philosophie. (Cliché AKG)