en fixant les règles que vérifient les opérations, sans considérer la nature des objets soumis à ces opérations. Ainsi, une même structure peut s’appliquer à des objets de nature
différente — à des nombres, à des fonctions,
à des transformations géométriques, etc.
L’abstraction, en mathématiques, consiste à
se détourner, ou à faire abstraction, de la
nature des objets pour ne considérer que les
relations qu’entretiennent ces objets. Ce point
de vue, qui émerge dans l’algèbre de Dedekind
et qui est resté anonyme au XIX
e siècle, Hilbert
le rend explicite.
Hilbert donne une représentation
axiomatique de la géométrie
Dès son arrivée à Göttingen, Hilbert
annonce un cours sur la géométrie. Ce cours,
qui sera publié sous le titre Les fondements
de la géométrie, s'appuie sur la méthode abstraite pour donner une axiomatisation de la
géométrie. Hilbert fait abstraction de la nature
des objets géométriques, le point, la droite,
le plan, et se contente de poser entre eux des
relations dont les propriétés sont explicitées
par les axiomes. Autrement dit, les axiomes
fixent les propriétés des relations existant
entre des objets dont la nature est laissée indéterminée. Ainsi, les axiomes définissent une
structure, analogue aux structures algébriques.
Mais, de l’algèbre à la géométrie, le primat
de la structure est renforcé. En algèbre, on
donne une structure à des objets supposés
connus, des nombres, des fonctions. On peut
déduire un théorème en raisonnant à partir
de la structure ou bien en raisonnant sur les
objets, avec leur nature propre. En revanche,
par axiomatisation, le raisonnement est réduit
à une simple déduction à partir des axiomes
et les objets sont définis par la seule position
des axiomes. Les axiomes, c’est-à-dire la structure, suffisent à définir les objets et à effectuer des démonstrations sur ces objets.
Dans son axiomatisation de la géométrie
et dans ses travaux ultérieurs, Hilbert explicite la méthode abstraite de l’algèbre, la radicalise et l’utilise pour produire de nouveaux
résultats. En réalité, Hilbert parcourt et transforme, dans une perspective abstraite, toutes
les mathématiques de son temps : la géométrie ; l’algèbre et la théorie des nombres, avec
une première démonstration de la « conjecture de Waring » en 1909; l’analyse, où il introduit les espaces de Hilbert, espaces abstraits
dont les « points » sont par exemple des fonctions. La méthode abstraite sera reprise, à
Göttingen, par l’école d’Emmy Noether et
d’Emil Artin, puis, en France, par le groupe
Bourbaki. Elle nourrira dès lors toutes les
mathématiques.
Donner un fondement aux
mathématiques
Parallèlement, Hilbert développe la
méthode abstraite pour lancer un programme
de fondement des mathématiques. Fonder les
mathématiques, c’est donner à leurs raisonnements une garantie ultime. Il s'agit en particulier de justifier les raisonnements qui supposent un infini existant en acte, les
raisonnements transfinis, tout en faisant l’économie de l’hypothèse de l’existence de l’infini. Le programme formaliste comporte deux
étapes. La première tâche est de formaliser
les théories mathématiques. On considère un
alphabet de symboles. On fixe des règles, analogues à l’orthographe et à la grammaire, pour
construire une formule à partir de ces symboles. On explicite des axiomes, qui serviront
Le philosophe et le mathématicien
53
différente — à des nombres, à des fonctions,
à des transformations géométriques, etc.
L’abstraction, en mathématiques, consiste à
se détourner, ou à faire abstraction, de la
nature des objets pour ne considérer que les
relations qu’entretiennent ces objets. Ce point
de vue, qui émerge dans l’algèbre de Dedekind
et qui est resté anonyme au XIX
e siècle, Hilbert
le rend explicite.
Hilbert donne une représentation
axiomatique de la géométrie
Dès son arrivée à Göttingen, Hilbert
annonce un cours sur la géométrie. Ce cours,
qui sera publié sous le titre Les fondements
de la géométrie, s'appuie sur la méthode abstraite pour donner une axiomatisation de la
géométrie. Hilbert fait abstraction de la nature
des objets géométriques, le point, la droite,
le plan, et se contente de poser entre eux des
relations dont les propriétés sont explicitées
par les axiomes. Autrement dit, les axiomes
fixent les propriétés des relations existant
entre des objets dont la nature est laissée indéterminée. Ainsi, les axiomes définissent une
structure, analogue aux structures algébriques.
Mais, de l’algèbre à la géométrie, le primat
de la structure est renforcé. En algèbre, on
donne une structure à des objets supposés
connus, des nombres, des fonctions. On peut
déduire un théorème en raisonnant à partir
de la structure ou bien en raisonnant sur les
objets, avec leur nature propre. En revanche,
par axiomatisation, le raisonnement est réduit
à une simple déduction à partir des axiomes
et les objets sont définis par la seule position
des axiomes. Les axiomes, c’est-à-dire la structure, suffisent à définir les objets et à effectuer des démonstrations sur ces objets.
Dans son axiomatisation de la géométrie
et dans ses travaux ultérieurs, Hilbert explicite la méthode abstraite de l’algèbre, la radicalise et l’utilise pour produire de nouveaux
résultats. En réalité, Hilbert parcourt et transforme, dans une perspective abstraite, toutes
les mathématiques de son temps : la géométrie ; l’algèbre et la théorie des nombres, avec
une première démonstration de la « conjecture de Waring » en 1909; l’analyse, où il introduit les espaces de Hilbert, espaces abstraits
dont les « points » sont par exemple des fonctions. La méthode abstraite sera reprise, à
Göttingen, par l’école d’Emmy Noether et
d’Emil Artin, puis, en France, par le groupe
Bourbaki. Elle nourrira dès lors toutes les
mathématiques.
Donner un fondement aux
mathématiques
Parallèlement, Hilbert développe la
méthode abstraite pour lancer un programme
de fondement des mathématiques. Fonder les
mathématiques, c’est donner à leurs raisonnements une garantie ultime. Il s'agit en particulier de justifier les raisonnements qui supposent un infini existant en acte, les
raisonnements transfinis, tout en faisant l’économie de l’hypothèse de l’existence de l’infini. Le programme formaliste comporte deux
étapes. La première tâche est de formaliser
les théories mathématiques. On considère un
alphabet de symboles. On fixe des règles, analogues à l’orthographe et à la grammaire, pour
construire une formule à partir de ces symboles. On explicite des axiomes, qui serviront
Le philosophe et le mathématicien
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