nomial (le polynôme d’Alexander) permettant
de classer des nœuds. Mais le polynôme
d’Alexander est un invariant incomplet : certains nœuds distincts ont le même polynôme
d’Alexander. Beaucoup plus récemment, en
1984, le mathématicien néo-zélandais
Vaughan Jones a découvert un nouvel invariant, lui aussi polynomial ; il est plus efficace
que le polynôme d’Alexander, mais lui non
plus ne résout pas entièrement le problème
de classification. Quelque temps après, d’autres
chercheurs ont affiné et généralisé l’invariant
de Jones ; là encore, les nouveaux invariants
polynomiaux introduits sont incomplets et
échouent à faire la différence entre certains
nœuds topologiquement distincts.
Un début de solution complète est peutêtre intervenu vers 1990, avec les travaux du
chercheur moscovite Victor Vassiliev. Ce dernier a introduit une nouvelle classe d’invariants définis de manière implicite, c’est-à-dire
définis seulement par les relations qu’ils doivent vérifier entre eux. Les invariants de
Vassiliev sont numériques, c’est-à-dire qu’à
chaque nœud est associé un nombre (qui peut
être déterminé à partir d’une analyse combinatoire de la topologie du nœud). Vassiliev a
conjecturé que ces invariants forment un système complet, autrement dit que des nœuds
distincts ont toujours des invariants de Vassiliev
différents. Bien qu’aucun contre-exemple n’ait
été trouvé jusqu’à présent, la conjecture reste
à prouver, de même qu’il reste à trouver des
méthodes pour calculer de façon effective et
efficace les invariants de Vassiliev. Tout de
même, l’avancée est considérable.
Un parallèle existe entre des
transformations mathématiques et
des mécanismes enzymatiques
Ces recherches mathématiques ont des
liens avec les questions que se posent les biologistes à propos de molécules comme l’ADN.
Par exemple, vers 1973, le mathématicien britannique John Conway a introduit des opérations « chirurgicales » élémentaires (le flip
et le décroisement) qui permettent de transformer un nœud en un autre en modifiant le
nœud au niveau d’un croisement de ses brins.
Or ces opérations de nature mathématique
ont des équivalents biochimiques, réalisés par
des topo-isomérases. Ces
enzymes, indispensables
au fonctionnement de
toutes les cellules, peuvent couper d’abord l’un
des brins ou les deux brins
de l’anneau d’ADN circulaire et passer un segment
de l’anneau à travers l’ouverture, et refermer
ensuite les extrémités coupées pour faire un nœud
dans chaque anneau. En
effectuant les opérations
de coupure, de passage et
De l’ADN à la théorie des nœuds
49
Les deux nœuds représentés ici sont topologiquement distincts: on ne peut passer de l’un à l’autre en tirant
seulement les fils, sans couper et recoller. Le nœud de gauche (nœud de trèfle) a pour polynôme d’Alexander
le polynôme P(t) = t 2 – t + 1 ; celui de droite a pour polynôme d’Alexander P(t) = t 2 – 3t + 1. Comme
il se doit, ces deux polynômes sont distincts. Cependant, il existe des nœuds distincts associés à un même
polynôme d’Alexander: les polynômes d’Alexander ne constituent pas des invariants complets.
de classer des nœuds. Mais le polynôme
d’Alexander est un invariant incomplet : certains nœuds distincts ont le même polynôme
d’Alexander. Beaucoup plus récemment, en
1984, le mathématicien néo-zélandais
Vaughan Jones a découvert un nouvel invariant, lui aussi polynomial ; il est plus efficace
que le polynôme d’Alexander, mais lui non
plus ne résout pas entièrement le problème
de classification. Quelque temps après, d’autres
chercheurs ont affiné et généralisé l’invariant
de Jones ; là encore, les nouveaux invariants
polynomiaux introduits sont incomplets et
échouent à faire la différence entre certains
nœuds topologiquement distincts.
Un début de solution complète est peutêtre intervenu vers 1990, avec les travaux du
chercheur moscovite Victor Vassiliev. Ce dernier a introduit une nouvelle classe d’invariants définis de manière implicite, c’est-à-dire
définis seulement par les relations qu’ils doivent vérifier entre eux. Les invariants de
Vassiliev sont numériques, c’est-à-dire qu’à
chaque nœud est associé un nombre (qui peut
être déterminé à partir d’une analyse combinatoire de la topologie du nœud). Vassiliev a
conjecturé que ces invariants forment un système complet, autrement dit que des nœuds
distincts ont toujours des invariants de Vassiliev
différents. Bien qu’aucun contre-exemple n’ait
été trouvé jusqu’à présent, la conjecture reste
à prouver, de même qu’il reste à trouver des
méthodes pour calculer de façon effective et
efficace les invariants de Vassiliev. Tout de
même, l’avancée est considérable.
Un parallèle existe entre des
transformations mathématiques et
des mécanismes enzymatiques
Ces recherches mathématiques ont des
liens avec les questions que se posent les biologistes à propos de molécules comme l’ADN.
Par exemple, vers 1973, le mathématicien britannique John Conway a introduit des opérations « chirurgicales » élémentaires (le flip
et le décroisement) qui permettent de transformer un nœud en un autre en modifiant le
nœud au niveau d’un croisement de ses brins.
Or ces opérations de nature mathématique
ont des équivalents biochimiques, réalisés par
des topo-isomérases. Ces
enzymes, indispensables
au fonctionnement de
toutes les cellules, peuvent couper d’abord l’un
des brins ou les deux brins
de l’anneau d’ADN circulaire et passer un segment
de l’anneau à travers l’ouverture, et refermer
ensuite les extrémités coupées pour faire un nœud
dans chaque anneau. En
effectuant les opérations
de coupure, de passage et
De l’ADN à la théorie des nœuds
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Les deux nœuds représentés ici sont topologiquement distincts: on ne peut passer de l’un à l’autre en tirant
seulement les fils, sans couper et recoller. Le nœud de gauche (nœud de trèfle) a pour polynôme d’Alexander
le polynôme P(t) = t 2 – t + 1 ; celui de droite a pour polynôme d’Alexander P(t) = t 2 – 3t + 1. Comme
il se doit, ces deux polynômes sont distincts. Cependant, il existe des nœuds distincts associés à un même
polynôme d’Alexander: les polynômes d’Alexander ne constituent pas des invariants complets.