c’est-à-dire sa disposition dans l’espace. En
1971, le biochimiste américain James Wang a
mis en évidence que certaines enzymes, les
topo-isomérases, peuvent modifier la configuration topologique de l’ADN, par exemple
en y créant des nœuds, et que la topologie de
la molécule d’ADN influe sur son fonctionnement dans la cellule. L’étude des configurations topologiques de l’ADN peut donc nous
renseigner sur la façon dont l’ADN intervient
dans les mécanismes cellulaires.
La topologie, que certains définissent
comme la « géométrie du caoutchouc » —
c’est-à-dire l’étude de propriétés qui ne sont
pas modifiées par une déformation, par une
modification des longueurs — est une branche
importante et fondamentale des mathématiques. Ses concepts et méthodes sont nécessaires à quasiment tous les mathématiciens.
La théorie des nœuds en est une émanation
particulière. Née il y a environ un siècle, celleci vise à étudier précisément la structure des
nœuds, et à les classer. Elle a trouvé des applications dans d’autres disciplines scientifiques
(en chimie moléculaire, en physique statistique, en physique théorique des particules,
etc.), en plus de ses liens avec d’autres
domaines de la recherche mathématique.
La question fondamentale de la théorie
des nœuds est la suivante : étant donnés deux
nœuds (pas trop simples!) réalisés par exemple
avec du fil, peut-on dire s’ils sont équivalents ?
En d’autres termes, peut-on étirer ou déformer l’un pour le rendre identique à l’autre,
sans rien couper ? Comme les topologues s’autorisent des déformations, leur définition d’un
nœud est légèrement différente de celle de
l’homme de la rue : pour eux, un nœud s’obtient en joignant les deux extrémités du fil ;
sinon, on pourrait — en tirant et en déformant convenablement le fil — dénouer n’importe quel nœud, et tous les nœuds seraient
alors équivalents. Du point de vue de la topologie, donc, un nœud est obligatoirement
constitué d’une ou plusieurs boucles — ce qui
est le cas des ADN circulaires.
Classer les nœuds en recherchant des
« invariants » : un problème de
topologie algébrique
Les spécialistes des nœuds font en général de la topologie algébrique : ils cherchent
à associer à chaque nœud topologiquement
différent un « invariant », un objet mathématique qui le caractérise, calculable aisément
et qui se prête à des manipulations algébriques. Cet objet mathématique peut être, a
priori, un nombre, un polynôme (une expression algébrique comme x
6 - 3x
2 + x + 2) ou
quelque chose de plus compliqué ou abstrait.
L’important, c’est qu’il soit le même pour tous
les nœuds topologiquement équivalents (d’où
le terme d’invariant). L’idéal est de trouver des
invariants qui caractérisent complètement les
nœuds, c’est-à-dire tels que deux nœuds distincts aient forcément des invariants différents. Alors le problème de classification sera
résolu. Pour résumer, les principales questions
sont : a-t-on une manière de caractériser les
nœuds afin de les distinguer ? Existe-t-il un
algorithme pour distinguer deux nœuds ?
Existe-t-il un programme informatique permettant à un ordinateur de distinguer deux
nœuds donnés en un temps raisonnable ?
Malgré plusieurs décennies de recherches,
la réponse à ces questions reste incomplète.
D’importants progrès ont toutefois été réalisés. Évoquons en quelques-uns, brièvement.
En 1928, le mathématicien américain James
Alexander a introduit le premier invariant poly48
L’explosion des mathématiques
1971, le biochimiste américain James Wang a
mis en évidence que certaines enzymes, les
topo-isomérases, peuvent modifier la configuration topologique de l’ADN, par exemple
en y créant des nœuds, et que la topologie de
la molécule d’ADN influe sur son fonctionnement dans la cellule. L’étude des configurations topologiques de l’ADN peut donc nous
renseigner sur la façon dont l’ADN intervient
dans les mécanismes cellulaires.
La topologie, que certains définissent
comme la « géométrie du caoutchouc » —
c’est-à-dire l’étude de propriétés qui ne sont
pas modifiées par une déformation, par une
modification des longueurs — est une branche
importante et fondamentale des mathématiques. Ses concepts et méthodes sont nécessaires à quasiment tous les mathématiciens.
La théorie des nœuds en est une émanation
particulière. Née il y a environ un siècle, celleci vise à étudier précisément la structure des
nœuds, et à les classer. Elle a trouvé des applications dans d’autres disciplines scientifiques
(en chimie moléculaire, en physique statistique, en physique théorique des particules,
etc.), en plus de ses liens avec d’autres
domaines de la recherche mathématique.
La question fondamentale de la théorie
des nœuds est la suivante : étant donnés deux
nœuds (pas trop simples!) réalisés par exemple
avec du fil, peut-on dire s’ils sont équivalents ?
En d’autres termes, peut-on étirer ou déformer l’un pour le rendre identique à l’autre,
sans rien couper ? Comme les topologues s’autorisent des déformations, leur définition d’un
nœud est légèrement différente de celle de
l’homme de la rue : pour eux, un nœud s’obtient en joignant les deux extrémités du fil ;
sinon, on pourrait — en tirant et en déformant convenablement le fil — dénouer n’importe quel nœud, et tous les nœuds seraient
alors équivalents. Du point de vue de la topologie, donc, un nœud est obligatoirement
constitué d’une ou plusieurs boucles — ce qui
est le cas des ADN circulaires.
Classer les nœuds en recherchant des
« invariants » : un problème de
topologie algébrique
Les spécialistes des nœuds font en général de la topologie algébrique : ils cherchent
à associer à chaque nœud topologiquement
différent un « invariant », un objet mathématique qui le caractérise, calculable aisément
et qui se prête à des manipulations algébriques. Cet objet mathématique peut être, a
priori, un nombre, un polynôme (une expression algébrique comme x
6 - 3x
2 + x + 2) ou
quelque chose de plus compliqué ou abstrait.
L’important, c’est qu’il soit le même pour tous
les nœuds topologiquement équivalents (d’où
le terme d’invariant). L’idéal est de trouver des
invariants qui caractérisent complètement les
nœuds, c’est-à-dire tels que deux nœuds distincts aient forcément des invariants différents. Alors le problème de classification sera
résolu. Pour résumer, les principales questions
sont : a-t-on une manière de caractériser les
nœuds afin de les distinguer ? Existe-t-il un
algorithme pour distinguer deux nœuds ?
Existe-t-il un programme informatique permettant à un ordinateur de distinguer deux
nœuds donnés en un temps raisonnable ?
Malgré plusieurs décennies de recherches,
la réponse à ces questions reste incomplète.
D’importants progrès ont toutefois été réalisés. Évoquons en quelques-uns, brièvement.
En 1928, le mathématicien américain James
Alexander a introduit le premier invariant poly48
L’explosion des mathématiques