généralement, d’ailleurs, les équations aux
dérivées partielles représentent une branche
très importante des mathématiques, qui fait
l’objet de recherches actives depuis plus de
deux cents ans. Une fois les équations et leurs
conditions aux limites établies, l’une des premières tâches du mathématicien consiste à formuler le problème en termes rigoureux et à
démontrer que les équations ont une solution,
et que si c’est le cas, la solution est unique
(autrement, cela signifierait que le problème
est mal posé, que la modélisation est incomplète). Une telle étude peut être ardue, et on
ne sait pas toujours la mener à bien ; mais elle
permet de s’assurer que l’on ne se lancera pas
en vain dans des calculs de résolution !
L’analyse mathématique permet de
formuler rigoureusement le problème
et de mettre au point des méthodes de
résolution efficaces
Il s’agit ensuite de proposer des méthodes
efficaces pour résoudre, avec une précision
suffisante, le problème posé. La résolution dite
analytique, où l’on obtient un résultat exact
et général, exprimé par une formule compacte,
est généralement hors de portée, sauf cas
exceptionnels et très simples. Le scientifique
ou l’ingénieur doit se contenter d’une résolution numérique — réalisée par ordinateur
car les calculs nécessaires sont très volumineux
— qui donne le résultat sous forme de valeurs
numériques (des nombres), valables avec une
certaine approximation. D’importantes difficultés apparaissent ici aussi.
Ainsi, dans les problèmes mettant en jeu
la diffraction d’ondes par des objets, le milieu
de propagation est souvent illimité : l’onde
peut aller jusqu’à l’infini. Or pour que la solution du problème soit unique, il faut imposer
une condition dite de rayonnement qui spécifie comment l’amplitude de l’onde décroît
au fur et à mesure qu’elle s’éloigne. Cette
condition n’est pas simple à imposer numériquement. L’une des solutions proposées
consiste à transformer l’équation aux dérivées
partielles d’origine en une équation intégrale
(équation où les fonctions inconnues apparaissent dans des intégrales) ; l’avantage de
cette formulation est qu’elle satisfait automatiquement la condition de rayonnement.
C’est dans les années 1960 qu’ont été écrits
les premiers programmes informatiques de
résolution par équations intégrales. Ils ne permettaient de calculer que la diffraction par
des objets petits par rapport à la longueur
d’onde ; de plus, ils donnaient souvent des
38
L’explosion des mathématiques
Un problème typique de propagation d’ondes : une source S émet une
onde radar, lumineuse, acoustique ou autre (en rouge sur la figure)
de longueur d’onde bien définie ; l’onde se réfléchit partiellement (en
bleu et vert sur la figure) sur les deux obstacles présents O 1 et O 2 ;
quelle va être l’amplitude de l’onde résultante en chaque lieu, par
exemple au niveau d’un détecteur placé en S? La résolution de ce problème difficile doit prendre en compte le type d’ondes émises, leur longueur d’onde, la forme des obstacles, le matériau dont ceux-ci sont
constitués, etc.
dérivées partielles représentent une branche
très importante des mathématiques, qui fait
l’objet de recherches actives depuis plus de
deux cents ans. Une fois les équations et leurs
conditions aux limites établies, l’une des premières tâches du mathématicien consiste à formuler le problème en termes rigoureux et à
démontrer que les équations ont une solution,
et que si c’est le cas, la solution est unique
(autrement, cela signifierait que le problème
est mal posé, que la modélisation est incomplète). Une telle étude peut être ardue, et on
ne sait pas toujours la mener à bien ; mais elle
permet de s’assurer que l’on ne se lancera pas
en vain dans des calculs de résolution !
L’analyse mathématique permet de
formuler rigoureusement le problème
et de mettre au point des méthodes de
résolution efficaces
Il s’agit ensuite de proposer des méthodes
efficaces pour résoudre, avec une précision
suffisante, le problème posé. La résolution dite
analytique, où l’on obtient un résultat exact
et général, exprimé par une formule compacte,
est généralement hors de portée, sauf cas
exceptionnels et très simples. Le scientifique
ou l’ingénieur doit se contenter d’une résolution numérique — réalisée par ordinateur
car les calculs nécessaires sont très volumineux
— qui donne le résultat sous forme de valeurs
numériques (des nombres), valables avec une
certaine approximation. D’importantes difficultés apparaissent ici aussi.
Ainsi, dans les problèmes mettant en jeu
la diffraction d’ondes par des objets, le milieu
de propagation est souvent illimité : l’onde
peut aller jusqu’à l’infini. Or pour que la solution du problème soit unique, il faut imposer
une condition dite de rayonnement qui spécifie comment l’amplitude de l’onde décroît
au fur et à mesure qu’elle s’éloigne. Cette
condition n’est pas simple à imposer numériquement. L’une des solutions proposées
consiste à transformer l’équation aux dérivées
partielles d’origine en une équation intégrale
(équation où les fonctions inconnues apparaissent dans des intégrales) ; l’avantage de
cette formulation est qu’elle satisfait automatiquement la condition de rayonnement.
C’est dans les années 1960 qu’ont été écrits
les premiers programmes informatiques de
résolution par équations intégrales. Ils ne permettaient de calculer que la diffraction par
des objets petits par rapport à la longueur
d’onde ; de plus, ils donnaient souvent des
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L’explosion des mathématiques
Un problème typique de propagation d’ondes : une source S émet une
onde radar, lumineuse, acoustique ou autre (en rouge sur la figure)
de longueur d’onde bien définie ; l’onde se réfléchit partiellement (en
bleu et vert sur la figure) sur les deux obstacles présents O 1 et O 2 ;
quelle va être l’amplitude de l’onde résultante en chaque lieu, par
exemple au niveau d’un détecteur placé en S? La résolution de ce problème difficile doit prendre en compte le type d’ondes émises, leur longueur d’onde, la forme des obstacles, le matériau dont ceux-ci sont
constitués, etc.