Oui, le problème du soufflet est digne
d’intérêt !
Ce problème est-il utile, intéressant ?
Qu’est-ce qu’un problème mathématique
intéressant ? Question difficile à laquelle les
mathématiciens réfléchissent depuis longtemps, bien sûr. Voici quelques éléments de
réponse, quelques indices de « qualité ».
L’ancienneté est un premier critère: les mathématiciens sont très sensibles à la tradition, à
des problèmes énoncés depuis longtemps, sur
lesquels des mathématiciens de plusieurs
générations ont planché. Un bon problème
doit également s’énoncer simplement, sa solution doit mener à des développements surprenants, si possible mettant en relation des
domaines très différents. De ces points de
vue, le problème de la rigidité que nous
venons d’aborder est intéressant.
La question de savoir si un bon problème
doit avoir des applications utiles dans la pratique est plus subtile. Les mathématiciens y
répondent de manière très variable.
Incontestablement, les questions « pratiques »,
issues par exemple de la physique, servent
bien souvent de motivation pour les mathématiques. Parfois, il s’agit de résoudre un problème bien concret, mais le lien est souvent
plus flou : le mathématicien ne se sert alors
de la question concrète que comme d’une
source d’inspiration et la résolution effective
du problème initial n’est plus la motivation
véritable. Le problème de rigidité appartient
à cette dernière catégorie. L’origine physique
est assez claire : la stabilité et la rigidité de
structures, par exemple métalliques. Pour l’instant, les exemples de Connelly ne sont d’aucune utilité pour les ingénieurs. Cependant,
il paraît clair que ce genre de recherche ne
manquera pas, dans un avenir indéterminé,
de permettre une meilleure compréhension
globale de la rigidité des vastes structures
constituées d’un grand nombre d’éléments
individuels (macromolécules, bâtiments, etc.).
Il s’agit donc de recherches théoriques et
« désintéressées », mais qui ont de bonnes
chances de s’avérer utiles un jour…
Étienne Ghys
École Normale Supérieure de Lyon,
CNRS-UMR 5669
Le théorème du soufflet
27
Quelques références :
• M. Berger, Géométrie, vol. 3. - Convexes et
polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes
(CEDIC/Nathan Information, 1977).
• R. Connelly, I. Sabitov, A. Walz, « The bellows
conjecture », Beiträge Algebra Geom., 38 (1997),
n° 1, pp. 1-10.
• R. Connelly, « A counterexample to the rigidity
conjecture for polyhedra », Institut des Hautes
Études Scientifiques, Publication Mathématique
n° 47 (1977), pp. 333-338.
• N. H. Kuiper, « Sphères polyédriques flexibles
dans E 3 , d’après Robert Connelly », Séminaire
Bourbaki, 30 e année (1977/78), exposé n° 514,
pp. 147-168 (Lecture Notes in Math. 710,
Springer, 1979).
d’intérêt !
Ce problème est-il utile, intéressant ?
Qu’est-ce qu’un problème mathématique
intéressant ? Question difficile à laquelle les
mathématiciens réfléchissent depuis longtemps, bien sûr. Voici quelques éléments de
réponse, quelques indices de « qualité ».
L’ancienneté est un premier critère: les mathématiciens sont très sensibles à la tradition, à
des problèmes énoncés depuis longtemps, sur
lesquels des mathématiciens de plusieurs
générations ont planché. Un bon problème
doit également s’énoncer simplement, sa solution doit mener à des développements surprenants, si possible mettant en relation des
domaines très différents. De ces points de
vue, le problème de la rigidité que nous
venons d’aborder est intéressant.
La question de savoir si un bon problème
doit avoir des applications utiles dans la pratique est plus subtile. Les mathématiciens y
répondent de manière très variable.
Incontestablement, les questions « pratiques »,
issues par exemple de la physique, servent
bien souvent de motivation pour les mathématiques. Parfois, il s’agit de résoudre un problème bien concret, mais le lien est souvent
plus flou : le mathématicien ne se sert alors
de la question concrète que comme d’une
source d’inspiration et la résolution effective
du problème initial n’est plus la motivation
véritable. Le problème de rigidité appartient
à cette dernière catégorie. L’origine physique
est assez claire : la stabilité et la rigidité de
structures, par exemple métalliques. Pour l’instant, les exemples de Connelly ne sont d’aucune utilité pour les ingénieurs. Cependant,
il paraît clair que ce genre de recherche ne
manquera pas, dans un avenir indéterminé,
de permettre une meilleure compréhension
globale de la rigidité des vastes structures
constituées d’un grand nombre d’éléments
individuels (macromolécules, bâtiments, etc.).
Il s’agit donc de recherches théoriques et
« désintéressées », mais qui ont de bonnes
chances de s’avérer utiles un jour…
Étienne Ghys
École Normale Supérieure de Lyon,
CNRS-UMR 5669
Le théorème du soufflet
27
Quelques références :
• M. Berger, Géométrie, vol. 3. - Convexes et
polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes
(CEDIC/Nathan Information, 1977).
• R. Connelly, I. Sabitov, A. Walz, « The bellows
conjecture », Beiträge Algebra Geom., 38 (1997),
n° 1, pp. 1-10.
• R. Connelly, « A counterexample to the rigidity
conjecture for polyhedra », Institut des Hautes
Études Scientifiques, Publication Mathématique
n° 47 (1977), pp. 333-338.
• N. H. Kuiper, « Sphères polyédriques flexibles
dans E 3 , d’après Robert Connelly », Séminaire
Bourbaki, 30 e année (1977/78), exposé n° 514,
pp. 147-168 (Lecture Notes in Math. 710,
Springer, 1979).