pris ceux qui n’ont jamais été construits en
pratique ! Ils ont appelé cette question la
« conjecture du soufflet » : le soufflet au coin
du feu éjecte de l’air quand on le presse; autrement dit, son volume diminue (et c’est
d’ailleurs sa fonction). Bien sûr, un vrai soufflet ne répond pas au problème de Connelly
et Sullivan : il est en cuir et ses faces se déforment constamment, contrairement à nos
polyèdres aux faces rigides.
En 1997, Connelly et deux autres mathématiciens, I. Sabitov et A. Walz, ont finalement
réussi à prouver cette conjecture. Leur démonstration est grandiose, et illustre une fois de
plus les interactions entre toutes les parties des
mathématiques. Dans cette question éminemment géométrique, les auteurs ont utilisé
des méthodes très fines d’algèbre abstraite
moderne. Il ne s’agit pas d’une démonstration
que Cauchy « aurait pu trouver » : les techniques mathématiques de l’époque étaient
insuffisantes. Je voudrais rappeler une formule
que l’on apprenait autrefois à l’école secondaire. Si les longueurs des côtés d’un triangle
sont a, b et c, on peut calculer facilement la
superficie du triangle. Pour cela, on calcule
d’abord le demi-périmètre p = (a + b + c)/2 et
ensuite on obtient la superficie en extrayant
la racine carrée de p(p - a)(p - b)(p - c). Cette
jolie formule porte le nom du mathématicien
grec Héron et nous vient de la nuit des temps.
Peut-on calculer, de façon analogue, le volume
d’un polyèdre si l’on connaît les longueurs de
ses arêtes ? Nos trois mathématiciens contemporains ont montré que oui.
Ils partent d’un polyèdre construit à partir d’un patron formé d’un certain nombre de
triangles et ils appellent l 1 , l 2 , l 3 , etc. les longueurs des côtés de ces triangles (éventuellement très nombreux). Ils trouvent alors que
le volume V du polyèdre doit satisfaire à une
équation du n
e degré, c’est-à-dire une équation de la forme a 0 + a 1 V + a 2 V
2 +… + a n V
n = 0.
Le degré n dépend du patron utilisé et les
coefficients de l’équation (a 0 , a 1 , etc.) dépendent explicitement des longueurs des côtés l 1 ,
l 2 , l 3 , etc. Autrement dit, si l’on connaît le
patron et les longueurs des côtés, on connaît
l’équation. Si le lecteur se souvient qu’une
équation a en général une solution lorsqu’elle
est du premier degré, deux solutions lorsqu’elle est du second degré, il pourra deviner
qu’une équation de degré n n’a
guère que n solutions.
Conclusion : si l’on connaît le
patron et les longueurs, on ne
connaît pas nécessairement le
volume, mais on sait au moins
que ce volume ne peut prendre
qu’un nombre fini de valeurs.
Lorsque le flexidron se déforme,
son volume ne peut donc pas
varier continûment (sinon, le
volume prendrait une infinité de
valeurs successives) ; ce volume
est « bloqué » et la conjecture
du soufflet est établie…
26
L’explosion des mathématiques
Figure 4. La patron du flexidron de Steffen.
pratique ! Ils ont appelé cette question la
« conjecture du soufflet » : le soufflet au coin
du feu éjecte de l’air quand on le presse; autrement dit, son volume diminue (et c’est
d’ailleurs sa fonction). Bien sûr, un vrai soufflet ne répond pas au problème de Connelly
et Sullivan : il est en cuir et ses faces se déforment constamment, contrairement à nos
polyèdres aux faces rigides.
En 1997, Connelly et deux autres mathématiciens, I. Sabitov et A. Walz, ont finalement
réussi à prouver cette conjecture. Leur démonstration est grandiose, et illustre une fois de
plus les interactions entre toutes les parties des
mathématiques. Dans cette question éminemment géométrique, les auteurs ont utilisé
des méthodes très fines d’algèbre abstraite
moderne. Il ne s’agit pas d’une démonstration
que Cauchy « aurait pu trouver » : les techniques mathématiques de l’époque étaient
insuffisantes. Je voudrais rappeler une formule
que l’on apprenait autrefois à l’école secondaire. Si les longueurs des côtés d’un triangle
sont a, b et c, on peut calculer facilement la
superficie du triangle. Pour cela, on calcule
d’abord le demi-périmètre p = (a + b + c)/2 et
ensuite on obtient la superficie en extrayant
la racine carrée de p(p - a)(p - b)(p - c). Cette
jolie formule porte le nom du mathématicien
grec Héron et nous vient de la nuit des temps.
Peut-on calculer, de façon analogue, le volume
d’un polyèdre si l’on connaît les longueurs de
ses arêtes ? Nos trois mathématiciens contemporains ont montré que oui.
Ils partent d’un polyèdre construit à partir d’un patron formé d’un certain nombre de
triangles et ils appellent l 1 , l 2 , l 3 , etc. les longueurs des côtés de ces triangles (éventuellement très nombreux). Ils trouvent alors que
le volume V du polyèdre doit satisfaire à une
équation du n
e degré, c’est-à-dire une équation de la forme a 0 + a 1 V + a 2 V
2 +… + a n V
n = 0.
Le degré n dépend du patron utilisé et les
coefficients de l’équation (a 0 , a 1 , etc.) dépendent explicitement des longueurs des côtés l 1 ,
l 2 , l 3 , etc. Autrement dit, si l’on connaît le
patron et les longueurs des côtés, on connaît
l’équation. Si le lecteur se souvient qu’une
équation a en général une solution lorsqu’elle
est du premier degré, deux solutions lorsqu’elle est du second degré, il pourra deviner
qu’une équation de degré n n’a
guère que n solutions.
Conclusion : si l’on connaît le
patron et les longueurs, on ne
connaît pas nécessairement le
volume, mais on sait au moins
que ce volume ne peut prendre
qu’un nombre fini de valeurs.
Lorsque le flexidron se déforme,
son volume ne peut donc pas
varier continûment (sinon, le
volume prendrait une infinité de
valeurs successives) ; ce volume
est « bloqué » et la conjecture
du soufflet est établie…
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L’explosion des mathématiques
Figure 4. La patron du flexidron de Steffen.