Pendant longtemps,
beaucoup de mathématiciens
se sont demandé si les polyèdres non convexes étaient
également rigides. Peut-on
trouver une preuve de la rigidité qui n’utiliserait pas l’hypothèse de convexité ? Les
mathématiciens aiment les
énoncés dans lesquels toutes
les hypothèses sont utiles pour
obtenir la conclusion. Il a fallu
attendre plus de 160 ans pour
connaître la réponse dans ce
cas particulier.
En 1977, le mathématicien canadien
Robert Connelly créa la surprise. Il a construit
un polyèdre (assez compliqué) qui est flexible,
bien sûr non convexe pour ne pas contrarier
Cauchy! Depuis, sa construction a été quelque
peu simplifiée, en particulier par Klaus Steffen.
Je présente dans la figure 4 un patron qui
permettra au lecteur de construire le « flexidron » de Steffen. Découpez, pliez le long des
lignes. Les lignes en continu sont des arêtes
saillantes et les lignes en pointillé correspondent aux arêtes rentrantes. Collez les bords
libres de la manière évidente. Vous obtiendrez une espèce de Shadok et vous verrez qu’il
est effectivement flexible (un peu…).
Le volume d’un polyèdre varie-t-il
lorsqu’on le déforme ?
À l’époque, les mathématiciens furent
enchantés par ce nouvel objet. Un modèle
métallique fut construit et déposé dans la salle
de thé de l’Institut des hautes études scientifiques, à Bures-sur-Yvette près de Paris, et l’on
pouvait s’amuser à faire bouger cette chose
à vrai dire pas très jolie, et qui grince un peu.
L’histoire raconte que Dennis Sullivan eut l’idée
de souffler de la fumée de cigarette à l’intérieur du flexidron de Connelly et qu’il constata
qu’en faisant bouger l’objet, aucune fumée
ne sortait… Il eut donc l’intuition que quand
le flexidron se déforme, son volume ne varie
pas ! L’anecdote est-elle vraie ? Quoi qu’il en
soit, Connelly et Sullivan conjecturèrent que
lorsqu’un polyèdre se déforme, son volume
est constant. Il n’est pas difficile de vérifier
cette propriété dans l’exemple particulier du
flexidron de Connelly ou encore pour celui de
Steffen (au prix de calculs compliqués mais
dépourvus d’intérêt). Mais la conjecture en
question considère tous les polyèdres, y comLe théorème du soufflet
25
Figure 3. Si l’on diminue les angles que font les segments entre eux,
les extrémités de la chaîne de segments se rapprochent.
La géode de la Villette, à la Cité des sciences à Paris, est un polyèdre convexe formé de 1730
facettes triangulaires. La rigidité des polyèdres articulés donne lieu à un joli problème mathématique qui a été résolu seulement en 1997. (Cliché Cosmos/R. Bergerot)
beaucoup de mathématiciens
se sont demandé si les polyèdres non convexes étaient
également rigides. Peut-on
trouver une preuve de la rigidité qui n’utiliserait pas l’hypothèse de convexité ? Les
mathématiciens aiment les
énoncés dans lesquels toutes
les hypothèses sont utiles pour
obtenir la conclusion. Il a fallu
attendre plus de 160 ans pour
connaître la réponse dans ce
cas particulier.
En 1977, le mathématicien canadien
Robert Connelly créa la surprise. Il a construit
un polyèdre (assez compliqué) qui est flexible,
bien sûr non convexe pour ne pas contrarier
Cauchy! Depuis, sa construction a été quelque
peu simplifiée, en particulier par Klaus Steffen.
Je présente dans la figure 4 un patron qui
permettra au lecteur de construire le « flexidron » de Steffen. Découpez, pliez le long des
lignes. Les lignes en continu sont des arêtes
saillantes et les lignes en pointillé correspondent aux arêtes rentrantes. Collez les bords
libres de la manière évidente. Vous obtiendrez une espèce de Shadok et vous verrez qu’il
est effectivement flexible (un peu…).
Le volume d’un polyèdre varie-t-il
lorsqu’on le déforme ?
À l’époque, les mathématiciens furent
enchantés par ce nouvel objet. Un modèle
métallique fut construit et déposé dans la salle
de thé de l’Institut des hautes études scientifiques, à Bures-sur-Yvette près de Paris, et l’on
pouvait s’amuser à faire bouger cette chose
à vrai dire pas très jolie, et qui grince un peu.
L’histoire raconte que Dennis Sullivan eut l’idée
de souffler de la fumée de cigarette à l’intérieur du flexidron de Connelly et qu’il constata
qu’en faisant bouger l’objet, aucune fumée
ne sortait… Il eut donc l’intuition que quand
le flexidron se déforme, son volume ne varie
pas ! L’anecdote est-elle vraie ? Quoi qu’il en
soit, Connelly et Sullivan conjecturèrent que
lorsqu’un polyèdre se déforme, son volume
est constant. Il n’est pas difficile de vérifier
cette propriété dans l’exemple particulier du
flexidron de Connelly ou encore pour celui de
Steffen (au prix de calculs compliqués mais
dépourvus d’intérêt). Mais la conjecture en
question considère tous les polyèdres, y comLe théorème du soufflet
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Figure 3. Si l’on diminue les angles que font les segments entre eux,
les extrémités de la chaîne de segments se rapprochent.
La géode de la Villette, à la Cité des sciences à Paris, est un polyèdre convexe formé de 1730
facettes triangulaires. La rigidité des polyèdres articulés donne lieu à un joli problème mathématique qui a été résolu seulement en 1997. (Cliché Cosmos/R. Bergerot)