Un problème encore d’actualité et qui
remonte à l’Antiquité
Le problème de la rigidité de ce type
d’objets est très ancien. Euclide en avait probablement connaissance. Le grand mathématicien français Adrien-Marie Legendre s’y
est intéressé vers la fin du XVIII
e siècle et en
a parlé à son collègue Joseph-Louis Lagrange ;
lequel suggéra à son tour au jeune AugustinLouis Cauchy d’étudier cette question en
1813. Ce sera le premier résultat marquant
du baron A.-L. Cauchy, qui deviendra par la
suite l’un des plus grands mathématiciens de
son siècle.
Cauchy s’est intéressé aux polyèdres
convexes, c’est-à-dire aux polyèdres qui n’ont
pas d’arêtes rentrantes. Par exemple, la pyramide que nous avons construite ou le ballon
de football sont convexes, tandis que l’objet dessiné à droite de la figure 2 ne l’est pas.
Le théorème établi par Cauchy est le suivant : tout polyèdre convexe est rigide. Cela
signifie que si l’on construit un polyèdre
convexe avec des polygones indéformables
(en métal par exemple) ajustés par des charnières le long de leurs arêtes, la géométrie
globale de l’ensemble empêche les jointures
de jouer. Le cornet que nous avons construit
est flexible mais cela n’invalide pas le théorème : il lui manque une face, et c’est la dernière face qui rigidifie la pyramide…
Faire des mathématiques, c’est démontrer
ce qu’on affirme ! Or la démonstration de
Cauchy est superbe (même si certains ont fait
remarquer par la suite qu’elle était incomplète).
Il n’est malheureusement pas question dans ce
petit article de donner une idée de cette preuve,
mais j’aimerais en extraire un « lemme », c’està-dire une étape dans la démonstration.
Posons sur le sol une chaîne constituée de
quelques barres métalliques assemblées bout
à bout, comme sur la figure 3. En chacun des
angles de cette ligne polygonale, bougeons les
deux barres de façon à diminuer l’angle correspondant. Alors, les deux extrémités de la chaîne
se rapprochent. Cela vous semble évident ?
Essayez de le démontrer…
24
L’explosion des mathématiques
Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), l’un des grands mathématiciens de son époque. (Cliché Archives de l'École polytechnique)
Figure 2. Un polyèdre convexe et un polyèdre étoilé, non convexe.
remonte à l’Antiquité
Le problème de la rigidité de ce type
d’objets est très ancien. Euclide en avait probablement connaissance. Le grand mathématicien français Adrien-Marie Legendre s’y
est intéressé vers la fin du XVIII
e siècle et en
a parlé à son collègue Joseph-Louis Lagrange ;
lequel suggéra à son tour au jeune AugustinLouis Cauchy d’étudier cette question en
1813. Ce sera le premier résultat marquant
du baron A.-L. Cauchy, qui deviendra par la
suite l’un des plus grands mathématiciens de
son siècle.
Cauchy s’est intéressé aux polyèdres
convexes, c’est-à-dire aux polyèdres qui n’ont
pas d’arêtes rentrantes. Par exemple, la pyramide que nous avons construite ou le ballon
de football sont convexes, tandis que l’objet dessiné à droite de la figure 2 ne l’est pas.
Le théorème établi par Cauchy est le suivant : tout polyèdre convexe est rigide. Cela
signifie que si l’on construit un polyèdre
convexe avec des polygones indéformables
(en métal par exemple) ajustés par des charnières le long de leurs arêtes, la géométrie
globale de l’ensemble empêche les jointures
de jouer. Le cornet que nous avons construit
est flexible mais cela n’invalide pas le théorème : il lui manque une face, et c’est la dernière face qui rigidifie la pyramide…
Faire des mathématiques, c’est démontrer
ce qu’on affirme ! Or la démonstration de
Cauchy est superbe (même si certains ont fait
remarquer par la suite qu’elle était incomplète).
Il n’est malheureusement pas question dans ce
petit article de donner une idée de cette preuve,
mais j’aimerais en extraire un « lemme », c’està-dire une étape dans la démonstration.
Posons sur le sol une chaîne constituée de
quelques barres métalliques assemblées bout
à bout, comme sur la figure 3. En chacun des
angles de cette ligne polygonale, bougeons les
deux barres de façon à diminuer l’angle correspondant. Alors, les deux extrémités de la chaîne
se rapprochent. Cela vous semble évident ?
Essayez de le démontrer…
24
L’explosion des mathématiques
Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), l’un des grands mathématiciens de son époque. (Cliché Archives de l'École polytechnique)
Figure 2. Un polyèdre convexe et un polyèdre étoilé, non convexe.