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L’explosion des mathématiques
quelques dixièmes de millimètre d’épaisseur :
par exemple de petits volets ou des micromécanismes permettant de déformer localement le profil du véhicule aux points critiques
de l’écoulement du fluide. En coordonnant
l’action de très nombreux micro-dispositifs de
ce genre, on obtiendrait, à l’échelle macroscopique, un écoulement fluide ayant les propriétés souhaitées. Dans le domaine du
contrôle de la turbulence des fluides, des
recherches mathématiques, alliées à des essais
physiques ou techniques, vont ainsi ouvrir un
monde de performances inimaginables il y a
quelques années ; un monde où, pour obtenir un même effet, l’énergie ou la taille des
dispositifs nécessaires sera diminuée de plus
d’un ordre de grandeur.
La théorie du contrôle met en jeu divers
champs mathématiques, en particulier
la théorie des équations différentielles
Les problèmes de contrôle que l’on a évoqués ici peuvent concerner de banals essuieglaces de voiture comme le lanceur spatial le
plus élaboré. La théorie du contrôle, née dans
les années 1940-1950 en relation notamment
avec les activités aérospatiales, puise ses
méthodes et ses concepts dans plusieurs
branches des mathématiques. Elle concerne
surtout des équations différentielles (où l’inconnue est une fonction) et des équations aux
dérivées partielles (équations différentielles
où la fonction inconnue est une fonction de
plusieurs variables), un vaste champ d’étude
déjà ancien mais toujours très actif. En effet,
pour la plupart des systèmes rencontrés dans
le monde réel, leur comportement peut être
modélisé à l’aide d’une telle équation. Un problème de contrôle se traduit alors par une ou
plusieurs équations différentielles ou aux dérivées partielles, qui contiennent des termes
représentant des actions de contrôle, définies
par l’homme. Notons globalement C ces termes
de contrôle, et f la fonction représentant le
comportement du système ; f est la solution
d’équations différentielles où intervient C, et
donc f dépend de C. Le but de la théorie du
contrôle est alors, en gros, de déterminer le C
adéquat pour que f, le comportement du système, soit acceptable. Pour un mathématicien,
il ne s’agit pas tant de le faire avec telle ou
telle équation particulière, mais plutôt d’obtenir des résultats généraux, valables pour de
nombreuses classes d’équations et donc applicables à de nombreuses situations différentes.
En France, la théorie du contrôle figure
en bonne place au sein de la brillante école
de mathématiques appliquées qu’a su créer
Jacques-Louis Lions (1928-2001). Mais à elle
seule, une bonne école mathématique ne suffit pas. Il faut également que ses résultats
soient connus et appliqués par tous ceux qui
pourraient en avoir besoin. D’où l’intérêt de
resserrer les liens entre la communauté mathématique et les mécaniciens, les ingénieurs, les
chimistes ou les biologistes.
Pierre Perrier
Académie des sciences et
Académie des technologies, Paris.
Quelques références :
• J. R. Leigh, Control theory. A guided tour (Peter
Peregrimus, Londres, 1992).
• J. Zabczyk, Mathematical control theory: an introduction (Birkhaüser, 1992).
• J.-L. Lions, Contrôlabilité exacte, perturbations et
stabilisation de systèmes distribués (Masson, 1988).
L’explosion des mathématiques
quelques dixièmes de millimètre d’épaisseur :
par exemple de petits volets ou des micromécanismes permettant de déformer localement le profil du véhicule aux points critiques
de l’écoulement du fluide. En coordonnant
l’action de très nombreux micro-dispositifs de
ce genre, on obtiendrait, à l’échelle macroscopique, un écoulement fluide ayant les propriétés souhaitées. Dans le domaine du
contrôle de la turbulence des fluides, des
recherches mathématiques, alliées à des essais
physiques ou techniques, vont ainsi ouvrir un
monde de performances inimaginables il y a
quelques années ; un monde où, pour obtenir un même effet, l’énergie ou la taille des
dispositifs nécessaires sera diminuée de plus
d’un ordre de grandeur.
La théorie du contrôle met en jeu divers
champs mathématiques, en particulier
la théorie des équations différentielles
Les problèmes de contrôle que l’on a évoqués ici peuvent concerner de banals essuieglaces de voiture comme le lanceur spatial le
plus élaboré. La théorie du contrôle, née dans
les années 1940-1950 en relation notamment
avec les activités aérospatiales, puise ses
méthodes et ses concepts dans plusieurs
branches des mathématiques. Elle concerne
surtout des équations différentielles (où l’inconnue est une fonction) et des équations aux
dérivées partielles (équations différentielles
où la fonction inconnue est une fonction de
plusieurs variables), un vaste champ d’étude
déjà ancien mais toujours très actif. En effet,
pour la plupart des systèmes rencontrés dans
le monde réel, leur comportement peut être
modélisé à l’aide d’une telle équation. Un problème de contrôle se traduit alors par une ou
plusieurs équations différentielles ou aux dérivées partielles, qui contiennent des termes
représentant des actions de contrôle, définies
par l’homme. Notons globalement C ces termes
de contrôle, et f la fonction représentant le
comportement du système ; f est la solution
d’équations différentielles où intervient C, et
donc f dépend de C. Le but de la théorie du
contrôle est alors, en gros, de déterminer le C
adéquat pour que f, le comportement du système, soit acceptable. Pour un mathématicien,
il ne s’agit pas tant de le faire avec telle ou
telle équation particulière, mais plutôt d’obtenir des résultats généraux, valables pour de
nombreuses classes d’équations et donc applicables à de nombreuses situations différentes.
En France, la théorie du contrôle figure
en bonne place au sein de la brillante école
de mathématiques appliquées qu’a su créer
Jacques-Louis Lions (1928-2001). Mais à elle
seule, une bonne école mathématique ne suffit pas. Il faut également que ses résultats
soient connus et appliqués par tous ceux qui
pourraient en avoir besoin. D’où l’intérêt de
resserrer les liens entre la communauté mathématique et les mécaniciens, les ingénieurs, les
chimistes ou les biologistes.
Pierre Perrier
Académie des sciences et
Académie des technologies, Paris.
Quelques références :
• J. R. Leigh, Control theory. A guided tour (Peter
Peregrimus, Londres, 1992).
• J. Zabczyk, Mathematical control theory: an introduction (Birkhaüser, 1992).
• J.-L. Lions, Contrôlabilité exacte, perturbations et
stabilisation de systèmes distribués (Masson, 1988).