exemple à la chute d’un pylône), un surcroît
de consommation d’énergie en un lieu donné,
peut avoir sur le réseau une cascade de conséquences. Or il n’est généralement pas possible
de réaliser une étude exhaustive de tous les
incidents possibles, ni de calculer exactement
chaque étape de la propagation de l’effet d’un
tel incident. Le nombre de possibilités à explorer est gigantesque, en tout cas beaucoup trop
élevé, même pour les ordinateurs les plus puissants. On est alors conduit à concevoir un
modèle mathématique qui décrit de façon simplifiée le réseau et son fonctionnement.
Moyennant des essais et des calculs d’ampleur
raisonnable, une telle modélisation permet de
cerner le comportement du système, au moins
approximativement. En retour, cela peut aider
à améliorer la conception des réseaux. Mais on
voudrait aussi pouvoir contrôler une situation
critique, provoquée par exemple par une surcharge localisée ou répartie sur une région
entière. Autrement dit, on voudrait savoir quel
est l’enchaînement des actions que le poste de
commande doit effectuer afin de minimiser les
conséquences de la panne. Une telle connaissance est-elle possible, en théorie ? Existe-t-il
des stratégies de contrôle optimales ? Si oui,
quelles sont-elles? Et ensuite, quels algorithmes
faut-il employer pour les vérifier par une simulation numérique, sur ordinateur, avant de tenter l’essai en grandeur réelle ?
Il est important de fournir un cadre d’étude
rigoureux à ce problème de gestion des ressources, si l’on ne veut pas gaspiller l’énergie,
ni être victime de coupures de courant généralisées. On a avec cet exemple un premier
type de problèmes de contrôle complexe où
les mathématiciens — à renfort de logique
mathématique, de théorie des nombres, de
théorie des probabilités, d’analyse et de théorie du contrôle — apportent leur contribution.
À tout le moins, ils peuvent fournir quelques
certitudes a priori quant à l’existence d’une
solution acceptable et aux moyens de l’obtenir — solution que des expériences devront
par la suite valider.
Empêcher les ponts de s’écrouler
La complexité n’est pas nécessairement rattachée à un réseau. Elle peut résider dans la
manière dont réagit un objet, comme un pont.
La tenue d’une telle structure dépend d’un
grand nombre de paramètres, de son comportement vibratoire entre autres. Comme chacun sait, les vibrations d’un pont peuvent être
provoquées par le passage de camions en file
ou par le vent d’une tempête. Parfois, ce phénomène s’amplifie jusqu’à provoquer la rupture de l’ouvrage. Un pont, comme toute autre
structure mécanique, possède une série de fréquences de vibration caractéristiques; si la perturbation extérieure apporte de l’énergie à des
fréquences qui correspondent aux fréquences
propres de vibration, une résonance se produit
et le pont accumule de l’énergie dans ses modes
propres de vibration. Ceux-ci s’amplifient alors,
tant que dure la perturbation extérieure, et
tant que la structure résiste aux contraintes
mécaniques qui en résultent.
Pour contrôler de tels phénomènes, il faut
les comprendre, savoir les prévoir et mettre en
place des dispositifs techniques capables de
contrecarrer les dangereuses résonances. On
parle de contrôle passif lorsqu’on calcule où installer les amortisseurs qui absorberont assez
d’énergie avant qu’elle ne s’accumule aux
endroits critiques. Mais on parle de contrôle
actif si, une fois repérés ces points critiques, on
place en des endroits bien choisis des dispositifs actifs, des actionneurs; ces derniers agiront
20
L’explosion des mathématiques
de consommation d’énergie en un lieu donné,
peut avoir sur le réseau une cascade de conséquences. Or il n’est généralement pas possible
de réaliser une étude exhaustive de tous les
incidents possibles, ni de calculer exactement
chaque étape de la propagation de l’effet d’un
tel incident. Le nombre de possibilités à explorer est gigantesque, en tout cas beaucoup trop
élevé, même pour les ordinateurs les plus puissants. On est alors conduit à concevoir un
modèle mathématique qui décrit de façon simplifiée le réseau et son fonctionnement.
Moyennant des essais et des calculs d’ampleur
raisonnable, une telle modélisation permet de
cerner le comportement du système, au moins
approximativement. En retour, cela peut aider
à améliorer la conception des réseaux. Mais on
voudrait aussi pouvoir contrôler une situation
critique, provoquée par exemple par une surcharge localisée ou répartie sur une région
entière. Autrement dit, on voudrait savoir quel
est l’enchaînement des actions que le poste de
commande doit effectuer afin de minimiser les
conséquences de la panne. Une telle connaissance est-elle possible, en théorie ? Existe-t-il
des stratégies de contrôle optimales ? Si oui,
quelles sont-elles? Et ensuite, quels algorithmes
faut-il employer pour les vérifier par une simulation numérique, sur ordinateur, avant de tenter l’essai en grandeur réelle ?
Il est important de fournir un cadre d’étude
rigoureux à ce problème de gestion des ressources, si l’on ne veut pas gaspiller l’énergie,
ni être victime de coupures de courant généralisées. On a avec cet exemple un premier
type de problèmes de contrôle complexe où
les mathématiciens — à renfort de logique
mathématique, de théorie des nombres, de
théorie des probabilités, d’analyse et de théorie du contrôle — apportent leur contribution.
À tout le moins, ils peuvent fournir quelques
certitudes a priori quant à l’existence d’une
solution acceptable et aux moyens de l’obtenir — solution que des expériences devront
par la suite valider.
Empêcher les ponts de s’écrouler
La complexité n’est pas nécessairement rattachée à un réseau. Elle peut résider dans la
manière dont réagit un objet, comme un pont.
La tenue d’une telle structure dépend d’un
grand nombre de paramètres, de son comportement vibratoire entre autres. Comme chacun sait, les vibrations d’un pont peuvent être
provoquées par le passage de camions en file
ou par le vent d’une tempête. Parfois, ce phénomène s’amplifie jusqu’à provoquer la rupture de l’ouvrage. Un pont, comme toute autre
structure mécanique, possède une série de fréquences de vibration caractéristiques; si la perturbation extérieure apporte de l’énergie à des
fréquences qui correspondent aux fréquences
propres de vibration, une résonance se produit
et le pont accumule de l’énergie dans ses modes
propres de vibration. Ceux-ci s’amplifient alors,
tant que dure la perturbation extérieure, et
tant que la structure résiste aux contraintes
mécaniques qui en résultent.
Pour contrôler de tels phénomènes, il faut
les comprendre, savoir les prévoir et mettre en
place des dispositifs techniques capables de
contrecarrer les dangereuses résonances. On
parle de contrôle passif lorsqu’on calcule où installer les amortisseurs qui absorberont assez
d’énergie avant qu’elle ne s’accumule aux
endroits critiques. Mais on parle de contrôle
actif si, une fois repérés ces points critiques, on
place en des endroits bien choisis des dispositifs actifs, des actionneurs; ces derniers agiront
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L’explosion des mathématiques