date de janvier 2002). Un informaticien astucieux, Serge Humpich, avait ainsi pu trouver
les deux nombres premiers ultra-secrets dont
le produit vaut N et les avait utilisés pour fabriquer de fausses cartes. Alors, pour garantir la
sécurité de nos petits rectangles de plastique,
l’organisme de gestion des cartes bancaires a
aussitôt construit de nouveaux nombres N,
nettement plus grands.
La cryptographie moderne,
au croisement des mathématiques
et de l’informatique
Cette péripétie illustre l’importance considérable que revêt aujourd’hui la science du
cryptage, c’est-à-dire du codage de messages
en vue de les rendre illisibles par des personnes
indiscrètes. Crypter et décrypter des messages
secrets est une activité vieille de plusieurs
siècles, voire millénaires. Et cette activité a largement débordé du cadre strictement diplomatique ou militaire pour investir des pans
entiers de l’univers des communications civiles:
procédures d’authentification, transactions
bancaires, commerce électronique, protection
de sites et fichiers informatiques, etc.
La cryptographie a connu beaucoup
d’avancées au cours des dernières décennies.
Ce faisant, elle est devenue une science complexe, où les progrès sont généralement le fait
de spécialistes ayant reçu une formation poussée en mathématiques et en informatique.
Cette spécialisation s’est manifestée dès la
Deuxième guerre mondiale. On le sait aujourd’hui, le déchiffrage par les Alliés des messages codés par les fameuses machines allemandes Enigma a joué un rôle déterminant
dans ce conflit. Or c’est un éminent mathématicien britannique, Alan Turing, par ailleurs
l’un des pères de l’informatique théorique,
qui a apporté une contribution essentielle à
ce décryptage.
Dans les années 1970, la cryptographie a
connu une petite révolution : l’invention de la
cryptographie à « clé publique », avec la
méthode RSA. De quoi s’agit-il ? Jusque-là, les
correspondants voulant échanger des messages secrets devaient partager une clé secrète,
et le risque d’interception de cette clé par l’ennemi était grand. Le protocole RSA, nommé
ainsi d’après ses trois inventeurs (Ronald Rivest,
Adi Shamir et Leonard Adleman), résout ce
problème. Cette méthode utilise deux clés :
une clé de cryptage publique — elle peut être
connue de tous — et une clé de décryptage,
qui reste secrète. Elle est fondée sur le principe (utilisé par la suite pour protéger les cartes
bancaires, comme on l’a vu plus haut) qu’il est
possible de construire de grands nombres premiers (de cent, mille chiffres, voire plus), mais
qu’il est extrêmement difficile de retrouver
les facteurs premiers p et q d’un grand nombre
N = p x q lorsque l’on connaît seulement
N. Schématiquement, la connaissance de N
revient à celle de la clé publique de cryptage,
tandis que la connaissance de p et q revient à
celle de la clé secrète de décryptage.
Évidemment, si quelqu’un trouvait une
méthode pour décomposer rapidement en
leurs facteurs premiers de grands nombres, le
protocole RSA deviendrait caduc. Mais il se
pourrait aussi que les mathématiciens prouvent qu’une telle méthode n’existe pas, ce qui
renforcerait la sécurité du protocole RSA. Ce
sont là des sujets de recherche décisifs.
Les méthodes qui, comme le protocole
RSA, font intervenir de la théorie des nombres
élaborée, apportent une grande leçon : des
16
L’explosion des mathématiques
les deux nombres premiers ultra-secrets dont
le produit vaut N et les avait utilisés pour fabriquer de fausses cartes. Alors, pour garantir la
sécurité de nos petits rectangles de plastique,
l’organisme de gestion des cartes bancaires a
aussitôt construit de nouveaux nombres N,
nettement plus grands.
La cryptographie moderne,
au croisement des mathématiques
et de l’informatique
Cette péripétie illustre l’importance considérable que revêt aujourd’hui la science du
cryptage, c’est-à-dire du codage de messages
en vue de les rendre illisibles par des personnes
indiscrètes. Crypter et décrypter des messages
secrets est une activité vieille de plusieurs
siècles, voire millénaires. Et cette activité a largement débordé du cadre strictement diplomatique ou militaire pour investir des pans
entiers de l’univers des communications civiles:
procédures d’authentification, transactions
bancaires, commerce électronique, protection
de sites et fichiers informatiques, etc.
La cryptographie a connu beaucoup
d’avancées au cours des dernières décennies.
Ce faisant, elle est devenue une science complexe, où les progrès sont généralement le fait
de spécialistes ayant reçu une formation poussée en mathématiques et en informatique.
Cette spécialisation s’est manifestée dès la
Deuxième guerre mondiale. On le sait aujourd’hui, le déchiffrage par les Alliés des messages codés par les fameuses machines allemandes Enigma a joué un rôle déterminant
dans ce conflit. Or c’est un éminent mathématicien britannique, Alan Turing, par ailleurs
l’un des pères de l’informatique théorique,
qui a apporté une contribution essentielle à
ce décryptage.
Dans les années 1970, la cryptographie a
connu une petite révolution : l’invention de la
cryptographie à « clé publique », avec la
méthode RSA. De quoi s’agit-il ? Jusque-là, les
correspondants voulant échanger des messages secrets devaient partager une clé secrète,
et le risque d’interception de cette clé par l’ennemi était grand. Le protocole RSA, nommé
ainsi d’après ses trois inventeurs (Ronald Rivest,
Adi Shamir et Leonard Adleman), résout ce
problème. Cette méthode utilise deux clés :
une clé de cryptage publique — elle peut être
connue de tous — et une clé de décryptage,
qui reste secrète. Elle est fondée sur le principe (utilisé par la suite pour protéger les cartes
bancaires, comme on l’a vu plus haut) qu’il est
possible de construire de grands nombres premiers (de cent, mille chiffres, voire plus), mais
qu’il est extrêmement difficile de retrouver
les facteurs premiers p et q d’un grand nombre
N = p x q lorsque l’on connaît seulement
N. Schématiquement, la connaissance de N
revient à celle de la clé publique de cryptage,
tandis que la connaissance de p et q revient à
celle de la clé secrète de décryptage.
Évidemment, si quelqu’un trouvait une
méthode pour décomposer rapidement en
leurs facteurs premiers de grands nombres, le
protocole RSA deviendrait caduc. Mais il se
pourrait aussi que les mathématiciens prouvent qu’une telle méthode n’existe pas, ce qui
renforcerait la sécurité du protocole RSA. Ce
sont là des sujets de recherche décisifs.
Les méthodes qui, comme le protocole
RSA, font intervenir de la théorie des nombres
élaborée, apportent une grande leçon : des
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L’explosion des mathématiques