recherches mathématiques (sur les nombres
premiers notamment) tout à fait désintéressées peuvent se révéler, des années ou des
décennies plus tard, cruciales pour telle ou
telle application ; et ce de manière imprévisible. Dans son livre L’apologie d’un mathématicien, le grand théoricien des nombres britannique G. H. Hardy (1877-1947), qui était
un fervent pacifiste, se targuait de travailler
dans un domaine parfaitement pur, l’arithmétique, et de n’avoir rien fait qui puisse être
considéré comme « utile ». Ses travaux étaient
peut-être « inutiles » à son époque. C’est faux
aujourd’hui.
Courbes elliptiques : la géométrie
algébrique au service des agents
secrets
Et cela ne concerne pas uniquement la
théorie des nombres. D’autres domaines des
mathématiques, auparavant considérés
comme dépourvus d’applications, contribuent
à la science du cryptage. Des méthodes cryptographiques prometteuses et fondées sur des
principes voisins de ceux du protocole RSA
sont apparues au cours des dernières années.
Il en est ainsi de la méthode dite du logarithme
discret. Celle-ci a servi à son tour à concevoir
des méthodes qui s’appuient sur les propriétés des courbes elliptiques. Il ne s’agit pas de
courbes ayant la forme d’une ellipse, mais de
courbes dont l’étude a débuté au XIX e siècle
pour résoudre le problème difficile du calcul
du périmètre d’une ellipse. Ces courbes, dont
les coordonnées (x, y) de leurs points vérifient
une équation de la forme y
2 = x
3 + ax + b, ont
d’intéressantes propriétés — dont l’étude fait
partie de la géométrie algébrique, très vaste
domaine des mathématiques actuelles. Par
exemple, à l’aide d’une construction géométrique appropriée, il est possible de définir
une addition entre les points d’une courbe
elliptique. Plus généralement, les objets géométriques que sont les courbes elliptiques possèdent des propriétés arithmétiques — que
l’on continue d’explorer — susceptibles de
rendre service à la cryptographie. C’est ainsi
qu’a été développée une méthode cryptographique intitulée logarithme discret sur les
courbes elliptiques.
Une autre direction s’est révélée récemment. Au congrès international des mathématiciens à Berlin en 1998, Peter Shor, des
laboratoires AT & T, obtenait le prix Nevanlinna
Cryptage et décryptage …
17
Le graphe de la courbe elliptique d’équation y 2 = x 3 + 1.
Les courbes elliptiques ont une propriété remarquable: on peut « additionner » leurs points selon le procédé représenté sur le dessin.
L’« addition » ainsi définie respecte les lois arithmétiques attendues,
telles que (P 1 + P 2 ) + P 3 = P 1 + (P 2 + P 3 ). Certaines méthodes modernes
de cryptographie font appel aux courbes elliptiques et à leurs propriétés algébriques.
premiers notamment) tout à fait désintéressées peuvent se révéler, des années ou des
décennies plus tard, cruciales pour telle ou
telle application ; et ce de manière imprévisible. Dans son livre L’apologie d’un mathématicien, le grand théoricien des nombres britannique G. H. Hardy (1877-1947), qui était
un fervent pacifiste, se targuait de travailler
dans un domaine parfaitement pur, l’arithmétique, et de n’avoir rien fait qui puisse être
considéré comme « utile ». Ses travaux étaient
peut-être « inutiles » à son époque. C’est faux
aujourd’hui.
Courbes elliptiques : la géométrie
algébrique au service des agents
secrets
Et cela ne concerne pas uniquement la
théorie des nombres. D’autres domaines des
mathématiques, auparavant considérés
comme dépourvus d’applications, contribuent
à la science du cryptage. Des méthodes cryptographiques prometteuses et fondées sur des
principes voisins de ceux du protocole RSA
sont apparues au cours des dernières années.
Il en est ainsi de la méthode dite du logarithme
discret. Celle-ci a servi à son tour à concevoir
des méthodes qui s’appuient sur les propriétés des courbes elliptiques. Il ne s’agit pas de
courbes ayant la forme d’une ellipse, mais de
courbes dont l’étude a débuté au XIX e siècle
pour résoudre le problème difficile du calcul
du périmètre d’une ellipse. Ces courbes, dont
les coordonnées (x, y) de leurs points vérifient
une équation de la forme y
2 = x
3 + ax + b, ont
d’intéressantes propriétés — dont l’étude fait
partie de la géométrie algébrique, très vaste
domaine des mathématiques actuelles. Par
exemple, à l’aide d’une construction géométrique appropriée, il est possible de définir
une addition entre les points d’une courbe
elliptique. Plus généralement, les objets géométriques que sont les courbes elliptiques possèdent des propriétés arithmétiques — que
l’on continue d’explorer — susceptibles de
rendre service à la cryptographie. C’est ainsi
qu’a été développée une méthode cryptographique intitulée logarithme discret sur les
courbes elliptiques.
Une autre direction s’est révélée récemment. Au congrès international des mathématiciens à Berlin en 1998, Peter Shor, des
laboratoires AT & T, obtenait le prix Nevanlinna
Cryptage et décryptage …
17
Le graphe de la courbe elliptique d’équation y 2 = x 3 + 1.
Les courbes elliptiques ont une propriété remarquable: on peut « additionner » leurs points selon le procédé représenté sur le dessin.
L’« addition » ainsi définie respecte les lois arithmétiques attendues,
telles que (P 1 + P 2 ) + P 3 = P 1 + (P 2 + P 3 ). Certaines méthodes modernes
de cryptographie font appel aux courbes elliptiques et à leurs propriétés algébriques.