Solu tions des exer cices du cha pitre 9
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© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
d’où :
p 1 >
5
8
et p <
5
8
,
soit :
p 1 5
5
8
,
On a alors :
p 2 5
3
8
.
Ainsi :
p 1 5
5
8
; p 2 5
3
8
; p 3 5 0 .
Le fait que p 3 = 0 ne signi fie pas, ici, qu’il y a une domi nance en ligne : on ne peut pas
dire que la ligne 1 ou bien la ligne 2 domine la ligne 3. Cepen dant si l’on fait la com bi nai son
linéaire :
1
2
3 ligne 1 1
1
2
3 ligne 2 , après sup pres sion de la colonne 3 (qui est une stra té gie
réces sive), on trouve : 0 1 . Cette nou velle ligne domine la ligne 3 res tante, soit : 21, 0 .
9.3 1) première méthode de résolution
Écri vons le pro gramme rela tif au joueur Β :
Syst. I e
2q 1 1 3q 2 2 2q 3 2 q 4 < g
2q 1 1 5q 2 1 4q 3 2 2q 4 < g
2q 1 2 5q 2
1 3q 4 < g
q 1 1 q 2 1 q 3 1 q 4 5 1
q 1
, q 2 , q 3 , q 4 > 0
et rem pla çons q 4 par 1 – q 1 – q 2 – q 3 . On
obtient :
e
q 1 1 q 2 1 q 3
< 1
3q 1 1 4q 2 2 q 3 2 1 < g
q 1 1 7q 2 1 6q 3 2 2 < g
2q 1 2 8q 2 2 3q 3 1 3 < g
q 1
, q 2 , q 3
> 0
(3 q 4 5 1 2 q 1 2 q 2 2 q 3 > 0)
Pour la réso lu tion, nous omet trons la pre mière contrainte, pour la véri fier seule ment a
pos te riori (en relâ chant cette contrainte, on pour rait avoir à l’opti mum q 1 1 q 2 1 q 3 . 1, ce
qui impli que rait que q 4 serait... néga tif ; comme nous le ver rons ce n’est pas le cas ici, avec
le tableau du jeu ci- dessus).
Ajou tons les variables d’écart q 5 , q 6 et q 7 , non- négatives ; il vient :
c
3q 1 1 4q 2 2 q 3 1 q 5 2 1 5 g
q 1 1 7q 2 1 6q 3 1 q 6 2 2 5 g
2q 1 2 8q 2 2 3q 3 1 q 7 1 3 5 g
d’où, en sous trayant la der nière équa tion des deux pre mières :
B
2
1
5
2 1
2
3
5
4
0
3
2
A
q 1
p 1
p 2
p 3
q 2
q 3
q 4
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© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
d’où :
p 1 >
5
8
et p <
5
8
,
soit :
p 1 5
5
8
,
On a alors :
p 2 5
3
8
.
Ainsi :
p 1 5
5
8
; p 2 5
3
8
; p 3 5 0 .
Le fait que p 3 = 0 ne signi fie pas, ici, qu’il y a une domi nance en ligne : on ne peut pas
dire que la ligne 1 ou bien la ligne 2 domine la ligne 3. Cepen dant si l’on fait la com bi nai son
linéaire :
1
2
3 ligne 1 1
1
2
3 ligne 2 , après sup pres sion de la colonne 3 (qui est une stra té gie
réces sive), on trouve : 0 1 . Cette nou velle ligne domine la ligne 3 res tante, soit : 21, 0 .
9.3 1) première méthode de résolution
Écri vons le pro gramme rela tif au joueur Β :
Syst. I e
2q 1 1 3q 2 2 2q 3 2 q 4 < g
2q 1 1 5q 2 1 4q 3 2 2q 4 < g
2q 1 2 5q 2
1 3q 4 < g
q 1 1 q 2 1 q 3 1 q 4 5 1
q 1
, q 2 , q 3 , q 4 > 0
et rem pla çons q 4 par 1 – q 1 – q 2 – q 3 . On
obtient :
e
q 1 1 q 2 1 q 3
< 1
3q 1 1 4q 2 2 q 3 2 1 < g
q 1 1 7q 2 1 6q 3 2 2 < g
2q 1 2 8q 2 2 3q 3 1 3 < g
q 1
, q 2 , q 3
> 0
(3 q 4 5 1 2 q 1 2 q 2 2 q 3 > 0)
Pour la réso lu tion, nous omet trons la pre mière contrainte, pour la véri fier seule ment a
pos te riori (en relâ chant cette contrainte, on pour rait avoir à l’opti mum q 1 1 q 2 1 q 3 . 1, ce
qui impli que rait que q 4 serait... néga tif ; comme nous le ver rons ce n’est pas le cas ici, avec
le tableau du jeu ci- dessus).
Ajou tons les variables d’écart q 5 , q 6 et q 7 , non- négatives ; il vient :
c
3q 1 1 4q 2 2 q 3 1 q 5 2 1 5 g
q 1 1 7q 2 1 6q 3 1 q 6 2 2 5 g
2q 1 2 8q 2 2 3q 3 1 q 7 1 3 5 g
d’où, en sous trayant la der nière équa tion des deux pre mières :
B
2
1
5
2 1
2
3
5
4
0
3
2
A
q 1
p 1
p 2
p 3
q 2
q 3
q 4