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L’objectif de B étant toujours de minimiser g.
Une méthode gra phique peut être uti li sée avec
avan tage (voir figure ci- contre) : en abcisse on a figuré
q 1 , en ordonnée : g. En grisé on a figuré le domaine
des points non admissibles.
On trace les droites :
3q 1 2 1 5 g
25q 1 1 3 5 g
2q 1
5 g
dans le plan (q 1 , g) et pour 0 < q 1 < 1.
On en déduit immé dia te ment le mini mum de g :
en prenant le point le plus bas de d :
q 1 5
1
2
, g 5
1
2
et q 2 5
1
2
.
2) On peut alors reve nir au pro gramme qui, pour A, s’écrit connais sant g 5
1
2
:
f
2p 1 2 2p 2 2 p 3 >
1
2
2p 1 1 3p 2
>
1
2
p 1 1 p 2 1 p 3 5 1
p 1
, p 2 , p 3 > 0.
En rem pla çant p 3 par 1 – p 1 – p 2 , on obtient : d
3p 1 2 p 2 >
3
2
2p 1 1 3p 2 > 1
2
,
p 1 , p 2 , (1 2 p 1 2 p 2 ) > 0
d’où, par addi tion des deux pre mières inéga li tés (de même sens) :
2p 1 1 2p 2 > 2
ou :
p 1 1 p 2 > 1 (a).
Mais : p 1 + p 2 + p 3 = 1 et p 1 , p 2 , p 3 > 0 montrent que :
p 1 1 p 2 < 1 (b).
En com pa rant les inéga li tés (a) et (b), il vient :
p 1 + p 2 = 1.
Il s’en suit que p 3 = 0.
On a alors, en rem pla çant p 2 par 1 – p 1 :
c
3p 1 2 (1 2 p 1 ) >
3
2
2p 1 2 3(1 2 p 1 ) >
1
2
1 c
4p 1 >
5
2
24p 1 > 2
5
2