Solu tions des exer cices du cha pitre 9
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Solu tionS deS exer ciceS du cha pitre 9
9.1 1) Les mini mums en ligne sont 3, 27 et 22 ; le maximin est 3 (= a 12 ).
Les maxi mums en colonne sont 6, 3, 5 et 4 ; le mini max est 3 (= a 12 ).
Ce jeu com porte un point- selle : a 12 = 3 (on véri fie que cet élé ment est le plus petit dans
sa ligne et le plus grand dans sa colonne). La valeur du jeu est donc g = 3.
A a inté rêt à tou jours jouer la ligne du maximin, donc sa stra té gie 1.
B a inté rêt à tou jours jouer la colonne du mini max, donc sa stra té gie 2.
2) Le jeu com porte quatre points- selle : a 12 = a 14 = a 32 = a 34 = 3. Dans le cas de points- selle
mul tiples, ceux- ci sont dis po sés comme les som mets d’un qua drillage. On montre que si
n lignes et m colonnes com portent des points- selle, le tableau com portent m 3 n pointsselle. Le joueur A a inté rêt à jouer chaque ligne com por tant un point- selle avec la fré quence
1
m
(ici :
1
2
) et B chaque colonne com por tant un point- selle avec la fré quence
1
n
(ici :
1
2
).
9.2 1)
B
2
2
2
1
3
3
0
1
1
A
q 1
p 1
p 2
p 3
q 2
q 3
On s’aper çoit tout de suite que la troi -
sième colonne cor res pond à une stra té gie
réces sive ; en effet en la comparant avec
la première colonne :
3 . 2 ; 21 . 22 ; 2 . 21.
Par suite q 3 = 0.
Il suf fira donc de résoudre le jeu réduit ci contre :
Or maximin 5 21 , mini max = 2 : ce jeu est sans
point- selle.
2) Le programme, pour B, est :
B f
min g
2q 1 2 q 2 < g
22q 1 1 3q 2 < g
2q 1
< g
q 1
1 q 2 5 1
q 1
, q 2 > 0
Comme : q 1 + q 2 = 1, on rem pla cera q 2 par 1 – q 1 dans les in équa tions pré cé dentes, d’où :
B d
2q 1
2
(1 2 q 1 )
< g
2 2q 1
1
3(1 2 q 1 )
< g
2 q 1
< g
0
<
q 1
< 1
1 d
3q 1
2
1
< g
25q 1
1
3
< g
2q 1
< g
0
< q 1
< 1
B
2
2
22
21 21
maximin
minimax
22
21
3
3
0
21
A
q 1
p 1
p 2
p 3
q 2