Solu tions des exer cices du cha pitre 8
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On constate sans peine que (3s ) entraîne (2s ) ; car
3
2
.
5
4
et
23
15
.
89
60
en mul ti pliant
(1s ) par 3 et (3s ) par 7, on voit que (3s ) entraîne aussi (1s ) car
21
2
.
39
5
et
161
15
.
21
12
.
3) Il reste donc :
d
3
2
x 2 1
23
15
x 3 < 3
5
6
x 2 2
17
3
x 3 < 23
D’où : d
x 3 <
45
23
2
45
46
x 2
x 3 >
9
17
1
5
34
x 2 .
L'élimination de x 3 conduit à :
9
17
1
5
34
x 2 <
45
23
2
45
23
x 2 ,
d’où :
0 < x 2 <
279
220
.
4) Comme on veut minimi ser F = x 1 + x 2 + x 3 , il fau dra faire x 2 5 0, ce qui entraîne :
9
17
< x 3 <
45
23
.
5) Mais l’on a un cer tain nombre d’inéqua tions qui ne contiennent donc plus x 2 :
x 1 > 23 2
3
4
x 3 ; x 1 < 4 2
4
3
x 3 , x 1 > 23 1
3
20
x 3 ; x 1 > 1 1
1
5
x 3 ; x 1 > 7 2 x 3 .
La pre mière est tou jours véri fiée, ainsi que la troi sième, puisque l’on connaît des bornes
de x 3 : x 3 ≤
45
23
et x 3 >
9
17
.
De la deuxième et l’avant- dernière, on tire :
94
85
< x 1 <
56
17
.
Mais, de plus, on a :
x 3 > 1 2
1
7
x 1 et x 1 > 1 1
1
5
a1 2
1
7
x 1 b ,
d’où :
x 1 >
7
6
.
Comme on doit minimi ser x 1 , on pren dra la plus petite borne pos sible dans l’inter valle
B
7
6
,
56
17
R, soit
7
6
, puis x 3 5
5
6
, qui est éga le ment la plus petite valeur pos sible, compte tenu
de la valeur impo sée à x 1 :