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8.6 1) On a laissé impli cite la non- négativité de x 1 , x 2 et x 3 (qui sera véri fiée a pos te riori).
Pour l’élimination de x 1 , on isole x 1 dans le membre de gauche de toute inégalité :
x 1
>
23
1
3
5
x 2
2
3
4
x 3
(1r)
x 1
<
6 2 2x 2
1
3x 3 (2 r)
x 1
<
4 2 2x 2
2
4
3
x 3
(3 r)
x 1
>
23
2
3
4
x 2
1
3
20
x 3
(4r)
x 1
>
1 2
1
2
x 2
1
1
5
x 3
(5r)
x 1
>
7 2
7
6
x 2
2
7x 3 (6r)
et l’on voit que (3 r) entraîne (2 r), car :
x 1 < £ 4 2 2x 2 2
4
3
x 3§ , £ 4 2 2x 2 2
4
3
x 3§ 1 a2 1
13
3
x 3 b 5 6 2 2x 2 1 3x 3 ;
l’in équa tion stricte , est vraie car x 3 > 0 et donc a2 1
13
3
x 3 b est positif.
Pour éliminer x 1 on écrit que chacun de ses majorants (cf 2ʹ et 3ʹ) est supérieur à chacun de
ses minorants.
2) Lorsque l’on a sup primé (2 r), on peut écrire que le second membre de (3 r), borne supé -
rieure de x 1 , est supé rieur ou égal au second membre des inéga li tés (1r), (4r), (5r) et (6r).
Ainsi x 1 est « éliminé » :
g
23 1
3
5
x 2 2
3
4
x 3 < 4 2 2x 2 2
4
3
x 3
23 2
3
4
x 2 1
3
20
x 3 < 4 2 2x 2 2
4
3
x 3
1 2
1
2
x 2 1
1
5
x 3 < 4 2 2x 2 2
4
3
x 3
7 2
7
6
x 2 2 7x 3 < 4 2 2x 2 2
4
3
x 3 ,
ce qui four nit :
h
13
5
x 2 1
7
12
x 3 < 7 (1s)
5
4
x 2 1
89
60
x 3 < 7 (2s)
3
2
x 2 1
23
15
x 3 < 3 (3s)
5
6
x 2 2
17
3
x 3 < 23 (4s) .