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et p
*
0 5 ° 1 2
l
m ¢ ^ £ 1 2 °
l
m ¢
6
§ (si l 5 m , on aurait p
*
0 5
1
6
.)
3) A.N. l = 24 arri vées/mn ; m = 30 trai te ments/mn ;
l
m 5 0,8 .
D’où : p
*
0 5 0,271 et U 5 1 2 p
*
0 5 0,729.
Le temps moyen d’U.C. perdu par heure est 0,271 3 1 h, soit 16mn 16s par heure.
Le déchet : r 5 1440 # p
*
5 (en effet il arrive 24 3 60 = 1 440 jobs par heure refu sés dans
la pro por tion égale à p
*
5 ), soit r 5 127 jobs refu sés par heure, en moyenne.
Notons que l (1 2 p
*
5 ) est le taux de jobs accep tés dans le sys tème ; m est le débit maximal
du sys tème et m # U est le débit réel du sys tème (U étant la pro ba bi lité que l’U.C. soit active).
En régime per manent le taux des entrées dans le sys tème, soit l(1 2 p
*
5 ) est égal au taux des
sor ties du sys tème, soit U # m.
On­peut­véri­ ­ fier­algé­ ­ bri­ ­ que­ ­ ment­la­rela­ ­ tion­l (1 2 p
*
5 ) 5 m # U comme suit :
Posons a 5
l
m ,­ceci­revient­à­véri­ ­ fier­que­:
l
m C1 2 a
5 #
1 2 a
1 2 a
6
S 0 1 2
1 2 a
1 2 a
6
.
Soit a 3 (1 2 a
6
) 2 (a
5 2 a
6
) 4 0 31 2 a
6 2 (1 2 a ) 4­ :­ cette­ éga­ ­ lité­ est­ véri­ ­ fiéepuisque­chaque­membre­est­égal­à­α­–­α
6
.
4)­ a)­ Si­ l’on­ double­ la­ mémoire­ de­ réserve,­ on­ peut­ modé­ ­ li­ ­ ser­ le­ sys­ ­ tème­ par­ la­ fileM/M/1/9 ; les dix états sont : E k (k = 0, 1, c , 9), E k étant asso cié à k jobs pré sents dans le
sys tème.
Alors p
*
0 5
1 2 l /m
1 2 (l /m )
10
5 0,224 ; le déchet devient : rr 1 5 1440 # p
*
9 5 43,3 jobs
refu sés par heure ; l’uti li sation du pro ces seur est alors Ur 1 5 1 2 p
*
0 5 0,776.
b)­On­a­la­file­M/M/2/6­:­le­graphe­sim­ ­ pli­ ­ fié­du­pro­ ­ ces­ ­ sus­de­nais­ ­ sance­et­de­mort­asso­ ­ cié­estle sui vant :
p
*
k 5 °
l
2m
¢
k21
# p
*
1
et  p
*
0 5
m
l
# p
*
1 .