Solu tions des exer cices du cha pitre 7
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2) a) On a p
*
1 5
l
m p
*
0 , p
*
2 5
l
m p
*
1 puis p
*
k 5 a
l
2m
b
k 2 2
# p
*
2 pour k > 2, soit :
p
*
k 5 a
l
m b
2
# a
l
2m
b
k 2 2
# p
*
0 5 4 # a
l
2m
b
k
# p
*
0
b) On a : 1 5 p
*
0
# £ 1 1
l
m 1
l
2
m
2
° 1 1
l
2m
1 °
l
2m
¢
2
1 c ¢ § , car : 1 = a
`
k 50
p
*
k .
D’où : p
*
0 5 1 ^ £ 1 1 c 1 c
2
°
1
1 2 c /2
¢ § 5
2 2 c
2 1 c 1 c
2
.
3) a)
d 5 0 # p
*
0 1 1 # (p
*
1 1 p
*
2 ) 1 2 # (p
*
3 1 p
*
4 1 p
*
5 1 c )
5 (p
*
1 1 p
*
2 ) 1 2 31 2 (p
*
0 1 p
*
1 1 p
*
2 ) 4 5 2 2 2p
*
0 2 p
*
1 2 p
*
2
d 5
2(2 1 c 1 c
2
) 2 (2 1 c 1 c
2
)(2 2 c )
2 1 c 1 c
2
5
2c 1 c
2 1 c
3
2 1 c 1 c
2
5 c :
résul­ ­ tat­simple,­bien­connu­pour­la­file­M/M/S : cf son interprétation en 3) b).
b) En régime per manent, le taux des arri vées des voi tures à la douane (soit l) est égal au taux
de départ des voi tures contrô lées ; celui­ ci est égal au nombre moyen de doua niers actifs (d),
mul ti plié par le taux de contrôle de chaque doua nier (m) :
l 5 d # m , soit c 5 d .
7.7 1) Etat E k : k jobs pré sents (un en trai te ment, k – 1 en attente si k > 1). Ici une nais ­
sance­est­l’arri­ ­ vée­d’un­job­et­une­mort,­la­fin­de­trai­ ­ te­ ­ ment­d’un­job.
Il­s’agit­d’une­file­M/M/1/5.­Le­pro­ ­ ces­ ­ sus­est­for­ ­ te­ ­ ment­ergodique­car­il­a­un­nombre­finid’états et son graphe est for te ment connexe.
2) p
*
k 5
l 0 # l 1 # l 2 # c # l k 2 1
m 1 # m 2 # m 3 # c # m k
# p
*
0 5 a
l
m b
k
# p
*
0
La somme des pro ba bi li tés des états est égale à 1 :
p
*
0
# c1 1
l
m 1 a
l
m b
5
d 5 1 , soit p
*
0 :
1 2 a
l
m b
6
1 2
l
m
5 1 # ( s i l Z m) .