Solu tions des exer cices du cha pitre 7
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Puisque (1) per met d’expri mer p
*
n en fonc tion de p
*
2 on peut alors obte nir p
*
2 en écri ­
vant que la somme des pro ba bi li tés des états égale 1 :
p
*
2
# £ a 1 b 1 g 1 a1 1
l
m 1
l
2
m
2
1 c b § 5 1.
On reconnaît dans la paren thèse la série géo mé trique de rai son q 5
l
m 5
l
m 1 1 m 2
;
cette série converge pour
l
m 1 1 m 2
, 1 : on retrouve ainsi la condi tion d’exis tence
d’un régime per manent, alors :
p
*
2 5 1 ^ £ a 1 b 1 g 1 °
1
1 2 l /m
¢ § .
Le nombre moyen de clients pré sents dans le sys tème est :
n 5 0 # p
*
0 1 1 # (p
*
01 1 p
*
10 ) 1 2 # p
*
2 1 3 # p
*
3 1 c
5 p
*
2
# £ b 1 g 2
m
l
1
m
l
° 1 1 2 #
l
m 1 3 # l
2
m
2
1 c ¢ §
On reconnaît dans la paren thèse la série déri vée de la série géo mé trique ; convergente
pour
l
m , 1, elle a alors pour somme :
1
(1 2 l /m )
2
.
Remarquons aussi que b 1 g 5
m
l
.
D’où : n 5 p
*
2
# £
m /l
(1 2 l /m )
2
§ .
N.B. Même si m 1 5 m 2 5 m /2,­ce­système­n'est­pas­équivalent­à­la­file­M/M/1.
7.4 l 5
1
6
h
2 1
, m 5
1
4
h
2 1
et
l
m 5
2
3
.
Avec 2 méca ni ciens
Soit E k ­le­nombre­de­machines­en­panne.­Voici­le­graphe­sim­ ­ pli­ ­ fié­du­pro­ ­ ces­ ­ sus­de­nais­ ­ sanceet de mort modé li sant cet ate lier :