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3)
G 5
0
1
2
D
0
1
2
2( a 1 2b )
2b
a
0
2( a 1 b ) ( a 1 b )
0
0
0
T
E 2 est alors absor bant.
On sait que : Pr( t ) 5 P( t ) # G , où P( t ) 5 3p 0 ( t ) , p 1 ( t ) , p 2 ( t ) 4 .
D’où p r
0 ( t ) 5 2( a 1 2b ) # p 0 ( t ) ; p r
1 ( t ) 5 22b # p 0 ( t ) 2 ( a 1 b ) # p 1 ( t ) ;
p r
2 ( t ) 5 a # p 0 ( t ) 1 ( a 1 b ) # p 1 ( t ) .
En inté grant ces équa tions dif fé ren tielles, il vient : p 0 (t) 5 K # exp 32(a 1 2b)t 4.
Or à t 5 0, p 0 (0) 5 1, d’où K 5 1.
La seconde équa tion dif fé ren tielle four nit alors :
pr 1 (t) 1 (a 1 b) pr 1 (t) 5 2b # e
2(a1 2b)t
L’inté grale géné rale sans le second membre est : C 1 # e
2( a 1 b ) t
.
Une inté grale par ti cu lière avec le second membre est à rechercher, de la forme :
p 1 ( t ) 5 C 2 # e
2 ( a 1 2b ) t
,
d’où : 2(a12b)C 2 1(a1b)C 2 5 2b, d’où C 2 5 22. Ainsi, on a :
p 1 (t) 5 C 1 # e
2(a1 b)t 22e
2(a1 2b)t
; or p 1 ( 0) 5 0 , d’où C 1 5 2 et
p 1 ( t ) 5 2e
2( a 1 b ) t 2 2e
2( a 1 2b ) t
.
La fia bi lité est la pro ba bi lité qu’à t le sys tème ne soit pas en état de panne para ly sante :
R (t) 5 1 2 p 2 (t) 5 p 0 (t) 1 p 1 (t) ; on retrouve :
R (t) 5 e
2(a1 2b)t 1 32e
2(a1 b)t 2 2e
2(a1 b)t
4 5 2e
2(a1 b)t 2 e
2(a1 2b)t
.
Évi dem ment l’appli ca tion du théo rème don nant la fia bi lité d’un mon tage série­ parallèle
est beau coup plus rapide (cf la première question) que le cal cul de R(t) déduit de la modé -
li sa tion markovienne. Mais, notons que pour le cal cul de la dis po ni bi lité asymp to tique
(cf. ques tion pré cé dente), la modé li sa tion markovienne est incontour nable.