Solu tions des exer cices du cha pitre 6
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On remarque que D
*
ne dépend pas de  2 , le sys tème pou vant fonc tion ner en mode local.
On pour rait alors, pour le cal cul de D
*
, uti li ser la modé li sa tion plus simple ci- dessous :
d
(A ) (2  1 1  3 ) # p
*
A 5 m # (p
*
B 1 p
*
7 ) 5 m # (1 2 p
*
A )
(B ) ( 1 1  3 1 m ) # p
*
B 5 2  1 # p
*
A
p
*
A 1 p
*
B 1 p
*
7 5 1
On retrouve : p
*
A 5
m
m 1 2  1 1  3
et : p
*
B 5
m
m 1 2  1 1  3
#
2 1
 1 1  3 1 m
.
6.11 1) La fia bi lité de B 1 et B 2 en paral lèle est :
R B 1 B 2 (t) 5 R B 1 (t) 1 R B 2 (t) 2 R B 1 (t) # R B 2 (t) soit, ici, 2R B ( t ) 2 R
2
B ( t ) ;
A étant placé en série avec B 1 B 2 , il vient : R (t) 5 R A (t) # 32R B (t) 2 R
2
B (t) 4.
Le MTTF est : MTTF 5 3
`
0
R (t) # dt.
Appli ca tion : R( t ) 5 e
2at
32e
2b t 2 e
22b t
4 5 2e
2( a 1 b ) t 2 e
2( a 1 2b ) t
.
D’où M TTF 5
2
a 1 b
2
1
a 1 2 b
. (On rap pelle que : 3
`
0
e
2at # dt 5
1
a
, avec a . 0.)
2)
Etat E 0 : A, B 1 et B 2 fonc tion ne nt ; état E 1 : un pro ces seur (B 1 ou B 2 ) est en panne, l’autre ainsi
que A fonc tionnent ; état E 3 : panne paralysante.
Le graphe est fini et for te ment connexe : il com porte le cir cuit hamiltonien (E 0 , E 1 , E 2 ,
E 0 ) : le pro ces sus est for te ment ergodique. On peut alors appli quer le théo rème des coupes
pour éva luer les pro ba bi li tés des états en régime per manent :
(a 1 2b) # p
*
0 5 m # p
*
2 ; (a 1 b) # p
*
1 5 2b # p
*
0 ; m # p
*
2 5 a # p
*
0 1 (a 1 b) # p
*
1 et
p
*
0 1 p
*
1 1 p
*
2 5 1 .
Numé ri que ment : 3 # p
*
0 5 10 # p
*
2 ; 2 # p
*
1 5 2 # p
*
0 ,
d’où : p
*
0
# a1 1 1 1
3
10
b 5 1, et : p
*
0 5
10
23
5 p
*
1 , p
*
2 5
3
23
. D’où D
* 5 p
*
0 1 p
*
1 5
20
23
.