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508
puis p
*
k 5 @
k
N
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l
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m
N
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N
soit p
*
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N 2 1
R.
Déri vons la for mule du binôme de Newton rappelée ci- dessus, par rap port à x, membre
à membre :
1 # @
1
n
1 2 # @
2
N
x 1 3 # @
3
N
x
2 1 c 1 N @
N
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N 2 1 5 N(1 1 x )
N 2 1
Soit : n 5 N 2 p
*
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N 2 1
R 5 N # B1 2
l
m @ a1 1
l
m b R 5 N #
m
l 1 m
.
On peut expliquer la simplicité de ces résultats en introduisant le processus de Bernoulli
ci-dessous.
3) Puisqu’il y a autant de répa ra teurs dis po nibles que de machines, on peut modé li ser le
fonc tion ne ment de chaque machine iso lé ment :
où E 0 désigne l’état de marche et E 1 , celui de panne.
On a vu au cha pitre 5 que : q 5 p
*
0 5
m
l 1 m
et p 5 p
*
1 5
l
m 1 l
.
Le pro blème revient à répé ter N fois l’expé rience élé men taire « voir si une machine don née
est en panne ». On a une pro ba bi lité p 5
l
l 1 m
de « suc cès » et q 5
m
l 1 m
d’« échec »
(p 1 q 5 1). Attention : ici un « succès » consiste à trouver... une machine en panne.
On reconnaît alors un schéma de Bernoulli. La pro ba bi lité de k suc cès pour Ν répé titions
d’une expé rience aléa toire admet tant seule ment deux résul tats : « suc cès » (avec la pro -
ba bi lité p) et « échec » (avec la pro ba bi lité q 5 1 2 p), don née par la loi binomiale, est
p
*
k 5 @
k
N
p
k # q
N 2 k 5 @
k
N
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l
l 1 m
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l 1 m
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N 2 k
: on retrouve la valeur de p
*
k du 3).
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3) Puisqu’il y a autant de répa ra teurs dis po nibles que de machines, on peut modé li ser le
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où E 0 désigne l’état de marche et E 1 , celui de panne.
On a vu au cha pitre 5 que : q 5 p
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d’« échec »
(p 1 q 5 1). Attention : ici un « succès » consiste à trouver... une machine en panne.
On reconnaît alors un schéma de Bernoulli. La pro ba bi lité de k suc cès pour Ν répé titions
d’une expé rience aléa toire admet tant seule ment deux résul tats : « suc cès » (avec la pro -
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