Solu tions des exer cices du cha pitre 6
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© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
des « condi tions ini tiales », c’est- à-dire de (0), quand t tend vers l’infini. Cette limite
*
peut se cal cu ler en appli quant le théo rème des coupes suc ces si ve ment à E F , puis E I , puis E A et
enfin E R (ou, ce qui est équi va lent ici en écri vant que P
* # G 5 0 : on a noté G le géné ra teur
infi ni té si mal de ce pro ces sus de Markov). Soit :
(a 1 b) # p
*
F 5 # p
*
I ; # p
*
I 5 b # p
*
F 1 m # p
*
R ; v # p
*
A 5 a # p
*
F ; m # p
*
R 5 v # p
*
A .
Expri mons chaque pro ba bi lité en fonc tion de p
*
F :
p
*
I 5
a 1 b
p
*
F , p
*
F 5
a
v
p
*
F , p
*
R 5
a
m
p
*
F .
Comme p
*
F 1 p
*
I 1 p
*
A 1 p
*
R 5 1, il vient pour l’utilisation U
*
:
p
*
F a1 1
a 1 b
1
a
v
1
a
m
b 5 1, soit U
* 5 p
*
F 5 1/ a1 1
a 1 b
1
a
v
1
a
m
b.
NB : en l’absence de pannes, on a a 5 0 d’où p
*
F 5 1 ^a 1 1
b
b.
6.9 1) L’état E k désigne l’état pour lequel k machines sont en panne (k 5 0, 1, c , N). Dans
cet état k répa ra teurs sont actifs : le taux glo bal de répa ra tion est : m k 5 k # m ; de même Ν – k
machines sont en fonc tion ne ment : le taux glo bal de pannes est : k 5 ( N 2 k ) # . Voici le
graphe des tran si tions entre états, entre t et t 1 dt :
2) On reconnaît un pro ces sus de « nais sance » (occur rence d’une panne) et de « mort » (fin
de répa ra tion) fermé (c’est àdire com por tant un nombre fini d’états) : ce pro ces sus est for te ment
ergodique (sachant que et μ sont stric te ment posi tifs). Pour un pro ces sus de nais sance et de mort
for te ment ergodique, en régime per manent (les états étant numé ro tés 0, 1, 2, etc.), on a :
p
*
k 5
0 # 1 # 2 # c# k 2 1
m 1 # m 2 # m 2 # c # m k
# p
*
0 .
Ici :
p
*
k 5
N(N 2 1)(N 2 2) c (N 2 k 1 1)
1 # 2 # 3 # c # k
#
k
m
k
# p
*
0 5 @
k
N a
m b
k
# p
*
0 .
Cal cu lons p
*
0 en écri vant que : a
N
k 50
p
*
k 5 1 ; il vient :
p
*
0 B1 1 @
1
N
m 1 @
2
N
a
m b
2
1 c 1 @
N
N
a
m b
N
R 5 1.
Rap pe lons la for mule du binôme de Newton : 1 1 @
1
N
x 1 @
2
N
x
2 1 c 1 @
N
N
x
N 5 (1 1 x)
N
.
D’où : p
*
0 B1 1
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N
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*
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m
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( 1 m)
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des « condi tions ini tiales », c’est- à-dire de (0), quand t tend vers l’infini. Cette limite
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peut se cal cu ler en appli quant le théo rème des coupes suc ces si ve ment à E F , puis E I , puis E A et
enfin E R (ou, ce qui est équi va lent ici en écri vant que P
* # G 5 0 : on a noté G le géné ra teur
infi ni té si mal de ce pro ces sus de Markov). Soit :
(a 1 b) # p
*
F 5 # p
*
I ; # p
*
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*
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*
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*
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*
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*
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*
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*
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*
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*
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*
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*
R 5 1, il vient pour l’utilisation U
*
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* 5 p
*
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NB : en l’absence de pannes, on a a 5 0 d’où p
*
F 5 1 ^a 1 1
b
b.
6.9 1) L’état E k désigne l’état pour lequel k machines sont en panne (k 5 0, 1, c , N). Dans
cet état k répa ra teurs sont actifs : le taux glo bal de répa ra tion est : m k 5 k # m ; de même Ν – k
machines sont en fonc tion ne ment : le taux glo bal de pannes est : k 5 ( N 2 k ) # . Voici le
graphe des tran si tions entre états, entre t et t 1 dt :
2) On reconnaît un pro ces sus de « nais sance » (occur rence d’une panne) et de « mort » (fin
de répa ra tion) fermé (c’est àdire com por tant un nombre fini d’états) : ce pro ces sus est for te ment
ergodique (sachant que et μ sont stric te ment posi tifs). Pour un pro ces sus de nais sance et de mort
for te ment ergodique, en régime per manent (les états étant numé ro tés 0, 1, 2, etc.), on a :
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*
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m 1 # m 2 # m 2 # c # m k
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*
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*
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*
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